유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 호(arc, 기호: ⌒)는 미분-가능한(differentiable) 곡선(curve)의 연결된(connected) 부분-집합입니다. 직선(lines)의 호는, 그들이 경계져 있는지 여부에 따라, 선분(segments) 또는 반직선(rays)으로 불립니다. 공통 구부러진 예제는 원(circle)의 호이며, 원형 호(circular arc)로 불립니다. 구(sphere) (또는 회전타원체(spheroid))에서, 큰 원(great circle) (또는 큰 타원(great ellipse))의 호, 그것은 큰 호(great arc)로 불립니다.
원 위의 구별되는 점의 모든 각 쌍은 두 호를 결정합니다. 만약 두 점이 서로 직접 반대가 아니면, 이들 호 중 하나, 보조 호(minor arc)는 원의 중심에 π 라디안(radian) (180도)보다 작은 각도로 끼워질(subtend) 것이고, 나머지 다른 호, 주요 호(major arc)는 π 라디안보다 큰 각도로 끼워질 것입니다.
Circular arcs
Length of an arc of a circle
반지름이 r을 가진 원과 원 중심에 (라디안에서 측정된) 각도 θ를 끼워진 – 즉, 중심 각도(central angle) – 호의 길이 (보다 정확하게, 호 길이(arc length))는 다음입니다:
\(\quad L = \theta r.\)
이것은 다음이기 때문입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{L}{\mathrm{circumference}}=\frac{\theta}{2\pi}.\)
원주에서 치환하고:
\(\quad\displaystyle \frac{L}{2\pi r}=\frac{\theta}{2\pi},\)
α가 각도에서 측정된 같은 각도인데, 왜냐하면, \(\theta = \tfrac{\alpha}{180}\pi\)이므로, 호 길이는 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle L=\frac{\alpha\pi r}{180}.\)
원에서 호의 길이를 결정하는 실질적인 방법은 호의 끝점에서 원의 중심까지 두 직선을 그리고, 두 직선이 중심을 만나는 각도를 측정하고, 그런-다음 교차-곱셈하는 명제를 곱하여 L에 대해 푸는 것입니다:
\(\quad\)measure of angle in degrees/360° = L/circumference.
예를 들어, 만약 각도의 측정이 60도이고 둘레가 24인치이면,
\(\quad \begin{align} \frac{60}{360} &= \frac{L}{24} \\ 360L &= 1440 \\ L &= 4. \end{align}\)
이것은 원의 둘레와, 항상 360이 있는, 원의 각도는 직접 비례하기 때문입니다.
원의 위쪽 절반은 다음으로 매개변수화될 수 있습니다:
\(\quad y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}.\)
그런-다음 \(x=a\)에서 \(x=b\)까지 호 길이는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle L=r\Big[\arcsin \left(\frac{x}{r}\right)\Big]^b_a.\)
Arc sector area
호와 원의 중심으로 형성된 부채꼴의 넓이 (호와 그의 끝점에 그려진 두 반지름으로 경계짐)는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle A=\frac{r^2 \theta}{2}.\)
넓이 A는 완전한 원에 대한 각도 θ로 원 넓이(circle area)에 대한 같은 비율을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}.\)
우리는 양쪽 변에서 π를 취소할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{A}{r^2}=\frac{\theta}{2}.\)
양쪽 변에 \(r^2\)을 곱하면, 우리는 최종 결과를 얻습니다:
\(\quad\displaystyle A=\frac{1}{2} r^2 \theta.\)
위에서 설명된 변환을 사용하여, 우리는 각도에서 측정된 중심 각도에 대해 부채꼴의 넓이는 다음임을 찾습니다:
\(\quad\displaystyle A=\frac{\alpha}{360} \pi r^2.\)
Arc segment area
호와 그의 두 끝점 사이의 직선에 의해 경계진 모양의 넓이는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{1}{2} r^2 \left(\theta - \sin{\theta}\right).\)
호 활꼴(arc segment)의 넓이를 얻기 위해, 우리는 넓이 \(A\)로부터, 원의 중심과 호의 두 끝점에 의해 결정된, 삼각형의 넓이를 빼야 합니다. 자세한 내용은 원형 활꼴(Circular segment)을 참조하십시오.
Arc radius
(점의 힘(power of a point) 또는 시컨트 탄젠트 정리로 역시 알려진) 교차하는 현 정리(intersecting chords theorem)를 사용하여, 호의 높이 H와 너비 W가 주어지면 원의 반지름 r을 계산할 수 있습니다:
호와 같은 끝점을 가진 현(chord)을 생각해 보십시오. 그의 수직 이등분선은 또 다른 현이며, 이것은 원의 지름입니다. 첫 번째 현의 길이는 W이고, 그것이 이등분선에 의해 각각 길이 \(\tfrac{W}{2}\)/2를 가진 두 같은 절반으로 나뉩니다. 지름의 총 길이는 2r이고, 그것은 첫 번째 현에 의해 두 부분으로 나뉩니다. 한 부분의 길이는 호, H의 화살(sagitta)이고, 나머지 하나는 길이 2r − H를 가진 지름의 나머지 부분입니다. 이들 두 현에 교차하는 현 정리를 적용하면 다음을 생산합니다:
\(\quad\displaystyle H(2r-H)=\left(\frac{W}{2}\right)^2,\)
정리하면,
\(\quad\displaystyle 2r-H=\frac{W^2}{4H},\)
따라서
\(\quad\displaystyle r=\frac{W^2}{8H}+\frac{H}{2}.\)
Parabolic arcs
See also
External links
- Table of contents for Math Open Reference Circle pages
- Math Open Reference page on circular arcs With interactive animation
- Math Open Reference page on Radius of a circular arc or segment With interactive animation
- Weisstein, Eric W. "Arc". MathWorld.