정규 다각형(regular polygon)의 아포팀(apothem) (때로는 apo으로 약칭됨)은 중심에서 변 중 하나의 중간점까지의 선분입니다. 동등하게, 그것은 변 다각형의 변 중 하나에 수직(perpendicular)인 다각형(polygon)의 중심에서 그린 선입니다. 단어 "apothem"는 역시 해당 선분의 길이를 참조할 수 있습니다. 정규 다각형은 아포팀을 가지는 유일한 다각형입니다. 이것 때문에, 다각형에서 모든 아포팀은 합동(congruent)이 될 것입니다.
밑변이 정규 다각형인 피라미드(pyramid)에 대해, 아포팀은 측면의 경사 높이(slant height)입니다; 즉, 꼭대기에서 주어진 면에 대한 밑변까지의 최단 거리입니다. 잘린 정규 피라미드 (밑변에 평행한 평면(plane)에 의해 꼭대기의 일부가 제거된 정규 피라미드)에 대해, 아포팀은 사다리꼴(trapezoid) 측면의 높이입니다.
등변 삼각형(equilateral triangle)에 대해, 아포팀은 한 변의 중점에서 삼각형의 중심까지의 선분과 동등합니다.
Properties of apothems
아포팀 a는 다음 공식에 따라 변 길이 s의 임의의 정규 n-변 다각형의 넓이(area)를 찾기 위해 사용될 수 있으며, 이것은 역시 넓이가 아포팀과 둘레(perimeter)의 절반을 곱한 것과 같음을 말하는데, 왜냐하면 ns = p이기 때문입니다.
\(\quad\displaystyle A = \frac{nsa}{2} = \frac{pa}{2}. \)
이 공식은 n-변 다각형을 n개의 합동(congruent) 이등변 삼각형(isosceles triangles)으로 나눔으로써 유도될 수 있고, 그런-다음 아포팀은 각 삼각형의 높이이고, 삼각형의 넓이는 밑변의 절반 곱하기 높이와 같다는 점에 주목하십시오. 다음 공식은 모두 동등합니다:
\(\quad\displaystyle A = \tfrac{1}{2}nsa = \tfrac{1}{2}pa = \tfrac{1}{4}ns^2\cot\frac{\pi}{n} = na^2\tan\frac{\pi}{n}\)
정규 다각형의 아포팀은 항상 내접된 원(inscribed circle)의 반지름(radius)이 될 것입니다. 그것은 역시 다각형의 임의의 변과 그것의 중심 사이의 최소 거리입니다.
이 속성은 역시 변의 수가 무한대에 가까워짐에 따라 정규 다각형의 넓이가 반지름 r = a의 내접된 원의 넓이에 접근하기 때문에 원의 넓이에 대한 공식을 쉽게 유도하기 위해 사용될 수 있습니다.
\(\quad\displaystyle A = \frac{pa}{2} = \frac{(2\pi r)r}{2} = \pi r^2\)
Finding the apothem
정규 다각형의 아포팀은 여러 가지 방법으로 구해질 수 있습니다.
변의 길이 s, 또는 둘레-반지름(circumradius) R을 갖는 정규 n-변 다각형의 아포팀 a는 다음 공식을 사용하여 구해질 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle a = \frac{s}{2\tan\frac{\pi}{n}} = R\cos\frac{\pi}{n}.\)
아포팀은 역시 다음에 의해 구해질 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle a = \frac{s}{2}\tan\frac{\pi(n - 2)}{2n}.\)
이들 공식은 비록 오직 둘레 p와 변의 개수 n이 알려져 있을 때 여전히 사용될 수 있는데 왜냐하면 \(s=\tfrac{p}{n}\)이기 때문입니다.
See also
External links
- Apothem of a regular polygon With interactive animation
- Apothem of pyramid or truncated pyramid
- Pegg, Jr., Ed. "Sagitta, Apothem, and Chord". The Wolfram Demonstrations Project.