대수적 해(algebraic solution) 또는 제곱근에서 해(solution in radicals)는 닫힌-형식 표현(closed-form expression)이고, 보다 구체적으로 닫힌-형식 대수적 표현(algebraic expression), 즉 계수, 오직 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈*division)에 의존하고, 정수 거듭제곱이 올려지고, n번째 근(nth root) (제곱근, 세제곱근, 및 다른 정수제곱 근)의 추출의 관점에서 대수적 방정식(algebraic equation)의 해입니다.
잘-알려진 예제는 다음 이차 방정식(quadratic equation)의
\(\quad\)\(ax^2 + bx + c =0,\)
다음 해입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}\).
삼차 방정식(cubic equation) 및 사차 방정식(quartic equation)에 대해 보다 복잡한 대수적 해가 있습니다. 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem), 및, 보다 일반적으로, 갈루아 이론(Galois theory)은 다음과 같은 일부 오차 방정식(quintic equation)이:
\(\quad\)\(x^5-x+1=0,\)
임의의 대수적 해를 가지지 않음을 말합니다. 같은 것은 모든 각 더 높은 차수에 대해 참입니다. 어쨌든, 임의의 차수에 대해 대수적 해를 가지는 일부 다항 방정식이 있습니다; 예를 들어, 방정식 \(x^{10}=2\)는 \(x=\sqrt[10]{2}\)로 풀릴 수 있습니다. 역시 차수 5에서 다양한 다른 예제에 대해 Quintic function § Other solvable quintics를 참조하십시오.
에바리스트 갈루아(Évariste Galois)는 어떤 방정식이 제곱근에서 풀려질 수 있는지 결정할 수 있는 기준을 도입했습니다. 그의 결과의 정확한 공식화에 대해 제곱근 확장(Radical extension)을 참조하십시오.
대수적 해는 닫힌-형식 표현(closed-form expression)의 부분집합을 형성하는데, 왜냐하면 후자는 지수 함수, 로그 함수, 및 삼각 함수와 그들의 역과 같은 초월 함수(transcendental function) (비-대수적 함수)를 허용하기 때문입니다.
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