수학(mathematic)에서, 기본 대수적 연산(algebraic operation)은 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈(division), 정수 거듭제곱(power)을 올리는 것, 및 제곱근(root) (분수적 거듭제곱)을 취하는 것인, 산술(arithmetic)의 공통적인 연산(operation) 중 임의의 하나입니다. 이들 연산은 숫자(number)에 대해 수행될 수 있으며, 이 경우에서 그것들은 종종 산술 연산(arithmetic operations)이라고 불립니다. 그것들은 역시, 유사한 방법으로, 변수(variables), 대수적 표현(algebraic expression), 및 보다 일반적으로, 그룹(groups)과 필드(fields)와 같은, 대수적 구조(algebraic structure)의 원소에서 수행될 수 있습니다. 대수적 연산은 역시 집합(set)의 데카르트 거듭제곱(Cartesian power)에서 같은 집합으로의 함수로 간단히 정의될 수 있습니다.
용어 대수적 연산(algebraic operation)은 역시 점 곱(dot product)과 같은, 기본 대수적 연산을 합성함으로써 정의될 수 있는 연산에 사용될 수 있습니다. 미적분학(calculus)과 수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 대수적 연산은 역시 순수하게 대수적 방법(algebraic methods)에 의해 정의될 수 있는 연산에 사용됩니다. 예를 들어, 정수(integer) 또는 유리수(rational) 지수를 갖는 지수화(exponentiation)는 대수적 연산이지만, 실수(real) 또는 복소수(complex) 지수를 갖는 일반적인 지수화는 그렇지 않습니다. 역시, 도함수(derivative)는 대수적이 아닌 연산입니다.
Notation
두 변수 또는 항 사이에 연산자가 없을 때, 또는 계수(coefficient)가 사용될 때, 곱셈 기호는 보통 생략되고, 암시됩니다. 예를 들어, \(3 \times x^2\)은 \(3x^2)으로 쓰고, \(2 \times x \times y\)은 \(2xy)로 씁니다. 때때로, 곱셈 기호는 x × y가 x . y 또는 x · y 중 하나로 쓰이도록, 점, 또는 가운데-점으로 대체됩니다. 일반 텍스트(plain text), 프로그래밍 언어(programming languages), 및 계산기(calculators)는 역시 곱셈 기호를 나타내기 위해 단일 별표를 사용하고, 그것은 명시적으로 사용되어야 합니다; 예를 들어, 3x는 3 * x로 쓰여집니다.
모호한 나눗셈 기호(division sign) (÷)를 사용하는 대신, 나눗셈은 보통, \(\tfrac{3}{x+1}\)에서 처럼, 괄선(vinculum), 수평 줄로 표시됩니다. 일반 텍스트 및 프로그래밍 언어에서, 슬래시 (역시 사선(solidus)이라고 불림)가, 예를 들어 3 / (x + 1)에서 처럼, 사용됩니다.
지수는 보통, \(x^2\)에서 처럼, 위첨자를 사용하여 형식-지정됩니다. 일반 텍스트(plain text) 및 텍(TeX) 마크-업 언어에서, 캐럿(caret) 기호 ^는 지수를 나타내므로, \(x^2\)은 x ^ 2으로 씁니다. 에이다(Ada), 포트란(Fortran), 펄(Perl), 파이선(Python), 및 루비(Ruby)와 같은 프로그래밍 언어에서, 이중 별표가 사용되므로, \(x^2\)은 x ** 2로 씁니다.
더하기-빼기 기호(plus-minus sign), ±는, 더하기 기호를 갖는 하나의 표현, 빼기 기호를 갖는 다른 하나의 표현을 나타내는, 하나로 쓰인 두 표현에 대해 속기 표기법으로 사용됩니다. 예를 들어, y = x ± 1는 두 방정식 y = x + 1 및 y = x − 1를 나타냅니다. 때때로, 그것은 ±x와 같은 양수-또는-음수 항을 표시하는 것에 사용됩니다.
Arithmetic vs algebraic operations
대수적 연산은, 아래 테이블에서 볼 수 있듯이, 산술 연산(arithmetic operations)과 같은 방법으로 작동합니다.
| 연산 | 대수 예제 | 산술 예제 | 의견 ≡는 "동등함"을 의미 ≢는 "동등하지 않음"을 의미 |
| 덧셈 | \((5 \times 5) + 5 + 5 + 3\) 아래와 동등함: \(5^2 + (2 \times 5) + 3\) | \((b \times b) + b + b + a\) 아래와 동등함: \(b^2 + 2b + a\) | \(\begin{align} 2 \times b & \equiv 2b\\ b + b + b & \equiv 3b\\ b \times b & \equiv b^2 \end{align}\) |
| 뺄셈 | \((7 \times 7) - 7 - 5\) 아래와 동등함: \(7^2 - 7 - 5\) | \((b \times b) - b - a\) 아래와 동등함: \(b^2 - b - a\) | \(\begin{align}b^2 - b & \not\equiv b\\ 3b - b & \equiv 2b\\ b^2 - b & \equiv b(b-1)\end{align}\) |
| 곱셈 | \(3 \times 5\) 또는 \(3 \ .\ 5\) 또는 \(3 \cdot 5\) 또는 \((3)(5)\) | \(a \times b\) 또는 \(a . b\) 또는 \(a \cdot b\) 또는 \(ab\) | \(a \times a \times a\)는 \(a^3\)와 같습니다 |
| 나눗셈 | \(12 \div 4\) 또는 \(12 / 4\) 또는 \(\displaystyle \frac {12}{4}\) | \(b \div a\) 또는 \(b / a\) 또는 \(\displaystyle \frac {b}{a}\) | \(\displaystyle \frac{(a+b)}{3} \equiv \tfrac{1}{3} \times (a+b)\) |
| 지수화 | \(3^{\frac{1}{2}}\) \(2^3\) | \(a^{\frac{1}{2}}\) \(a^3\) | \(a^{\frac{1}{2}}\)는 \(\sqrt a\)와 같습니다 \(a^3\)는 \(a \times a \times a\)와 같습니다 |
주목: 문자 \(a\)와 \(b\)의 사용은 임의적이고, 예제는 만약 \(x\)와 \(y\)가 사용되면 같이 유효할 것입니다.
Properties of arithmetic and algebraic operations
| 속성 | 산술 예제 | 대수 예제 | 의견 ≡는 "동등함"을 의미 ≢는 "동등하지 않음"을 의미 |
| 교환성 | \(3 + 5 = 5 + 3\) \(3 \times 5 = 5 \times 3\) | \(a + b = b + a\) \(a \times b = b \times a\) | 덧셈과 곱셈은 교환적이고 결합적입니다 뺄셈과 나눗셈은 그렇지 않습니다: 예를 들어 \((a-b) \not\equiv (b - a)\) |
| 결합성 | \((3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7)\) \((3 \times 5) \times 7 = 3 \times (5 \times 7)\) | \((a + b) + c = a + (b + c)\) \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\) |
See also
- Algebraic expression
- Algebraic function
- Elementary algebra
- Factoring a quadratic expression
- Order of operations