수학(mathematics)에서, 대수적 표현(algebraic expression)은 정수 상수(constants), 변수(variables), 및 (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 및 유리수인 지수에 의한 지수화와 같은) 대수적 연산(algebraic operation)으로 만들어진 표현(expression)입니다. 예를 들어, \(3x^2-2xy+c\)는 대수적 표현입니다. 제곱근을 취하는 것이 거듭제곱 \(\tfrac12\)을 올리는 것과 같기 때문에,
\(\quad\)\(\displaystyle \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}\)
은 역시 대수적 표현입니다. 대조적으로, π와 e와 같은 초월적 숫자(transcendental number:초월수)는 대수적이 아닙니다.
유리적 표현(rational expression)은 (덧셈과 곱셈의 교환 속성과 결합 속성, 분배 속성 및 분수 연산에 대한 규칙과 같은) 산술 연산의 속성을 사용함으로써 유리적 분수(rational fraction)로 재작성될 수 있는 표현(expression)입니다. 다시 말해서, 유리적 표현은 오직 산술의 네 가지 연산만 사용하여 변수와 상수로부터 구성될 수 있는 표현입니다. 따라서 다음은 유리적 표현이지만,
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{3x^2 - 2xy + c}{y^3-1}\)
다음은 유리적 표현이 아닙니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}\).
유리 방정식(rational equation)은 다음 형식의 둘의 유리적 분수 (또는 유리적 표현)가 서로 같게 설정되는 방정식입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\)
이들 표현은 분수(fractions)로써 동일한 규칙을 따릅니다. 방정식은 교차-곱셈(cross-multiplication)에 의해 해결될 수 있습니다. 영에 의한 나눗셈은 정의되지 않으므로, 영에 의한 공식적인 나눗셈의 원인이 되는, (분모가 영이 되는) 해는 거부됩니다.
Terminology
대수(Algebra)는 표현의 일부를 설명하기 위한 자체의 용어를 가집니다:
1 – Exponent (power), 2 – coefficient, 3 – term, 4 – operator, 5 – constant, \(x,y\) - variables
In roots of polynomials
차수(degree) n의 다항 표현의 근(roots), 또는 동등하게 다항 방정식(polynomial equation)의 해는 만약 n < 5이면 항상 대수적 표현으로 쓰일 수 있습니다 (이차 공식(quadratic formula), 삼차 함수(cubic function), 및 사차 방정식(quartic equation)을 참조하십시오). 그러한 방정식의 해는 대수적 해(algebraic solution)라고 불립니다. 그러나 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)는 대수적 해가 만약 \(n \ge 5\)이면 모든 그러한 방정식에 대해 존재하지 않는다고 말합니다 (단지 그것들 중 일부만 존재합니다).
Conventions
Variables
관례에 의해, 알파벳의 시작에서 문자 (예를 들어, \(a,b,c\))는 전형적으로 상수(constants)를 나타내기 위해 사용되고, 알파벳의 끝을 향하는 그것들 (예를 들어, \(x,y), 및 \(z\))는 변수(variables)를 나타내기 위해 사용됩니다. 그것들은 보통 기울임꼴로 쓰입니다.
Exponents
관례에 의해, 가장-높은 거듭제곱 (지수(exponent))를 갖는 항은 왼쪽에 쓰이고, 예를 들어, \(x^2\)은 \(x\)의 왼쪽에 쓰입니다. 계수가 일일 때, 보통 생략됩니다 (예를 들어, \(1x^2\)은 \(x^2\)으로 씁니다). 지수 (거듭제곱)이 일일 때 마찬가지이고 (예를 들어, \(3x^1\)은 \(3x\)로 씁니다), 지수가 영일 때, 그 결과는 항상 1입니다 (예를 들어, \(3x^0\)은 \(3\)으로 쓰는데, 왜냐하면 \(x^0\)은 항상 \(1\)이기 때문입니다).
Algebraic and other mathematical expressions
아래 테이블은 공통적이지만 보편적이 아닌 관례에 따라 대수적 표현이 포함할 수 있는 원소의 유형에 의해 여러 다른 유형의 수학적 표현과 비교하는 방법을 요약합니다.
유리 대수적 표현(rational algebraic expression) (또는 유리 표현(rational expression))은 x2 + 4x + 4와 같이 다항식(polynomial)의 몫으로 쓰일 수 있는 대수적 표현입니다. 무리 대수적 표현(irrational algebraic expression)은 √x + 4와 같은 유리가 아닌 표현입니다.
See also
- Algebraic equation
- Algebraic function
- Analytical expression
- Arithmetic expression
- Closed-form expression
- Expression (mathematics)
- Precalculus
- Polynomial
- Term (logic)
References
- James, Robert Clarke; James, Glenn (1992). Mathematics dictionary. p. 8. ISBN 9780412990410.
External links