수학(mathematics), 특히 추상 대수학(abstract algebra)에서, 필드(field) K의 대수적 클로저(algebraic closure)는 대수적으로 닫혀 있는 K의 대수적 확장(algebraic extension)입니다. 그것은 수학의 많은 클로저(closures) 중 하나입니다.
조온의 보조정리(Zorn's lemma) 또는 더 약한 극단필터 보조정리(ultrafilter lemma)를 사용하여, 모든 각 필드가 대수적 클로저를 가지고, 필드 K의 대수적 클로저가 K의 모든 각 구성원을 고정하는 동형까지(up to) 고유하다는 것을 보여줄 수 있습니다. 이 필수적인 고유성 때문에, 우리는 종종 K의 하나의 대수적 클로저라기 보다는 K의 그 대수적 클로저에 대해 말합니다.
필드 K의 대수적 클로저는 K의 가장 큰 대수적 확장으로 생각될 수 있습니다. 이를 보기 위해, L이 K의 임의의 대수적 확장이면, L의 대수적 클로저는 K의 대수적 클로저이기도 하고, 따라서 L은 K의 대수적 클로저 내에 포함됨을 주목하십시오. K의 대수적 클로저는 역시 K를 포함하는 가장 작은 대수적으로 닫힌 필드인데, 왜냐하면 M이 K를 포함하는 대수적으로 닫힌 필드이면, K에 걸쳐 대수적인 M의 원소는 K의 대수적 클로저를 형성하기 때문입니다.
필드 K의 대수적 클로저는 K가 무한이면 K와 같은 카디널리티(cardinality)를 가지고, K가 유한이면, 셀-수-있는 무한(countably infinite)입니다.
Examples
- 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 실수의 필드의 대수적 클로저가 복소수의 필드라고 말합니다.
- 유리수의 필드의 대수적 클로저는 대수적 숫자(algebraic numbers)의 필드입니다.
- 복소수 내에는 많은 셀 수 있는 대수적으로 닫힌 필드가 있고, 대수적 숫자의 필드를 엄격하게 포함합니다; 이것들은 유리수의 초월적인 확장의 대수적 클로저, 예를 들어, Q(π)의 대수적 클로저입니다.
- 소수 거듭제곱 차수 q의 유한 필드(finite field)에 대해, 대수적 클로저는 각 양의 정수 n에 대한 차수 \(q^n\) 필드의 복사본을 포함하는 셀 수 있는 무한(countably infinite) 필드입니다 (그리고 실제로 이들 복사본의 합집합입니다).
Existence of an algebraic closure and splitting fields
\(S = \{ f_{\lambda} | \lambda \in \Lambda\}\)를 K[x]에서 모든 일계수 기약 다항식의 집합이라고 놓습니다. 각 \(f_{\lambda} \in S\)에 대해, 새로운 변수 \(u_{\lambda,1},\ldots,u_{\lambda,d}\)를 도입하며, 여기서 \(d = {\rm degree}(f_{\lambda})\)입니다. R을 모든 \(\lambda \in \Lambda\)와 모든 \(i \leq {\rm degree}(f_{\lambda})\)에 대해 \(u_{\lambda,i}\)에 의해 생성된 K에 걸쳐 다항식 링이라고 놓습니다. \(r_{\lambda,j} \in R\)와 함께 다음이라고 씁니다:
\(\quad \displaystyle f_{\lambda} - \prod_{i=1}^d (x-u_{\lambda,i}) = \sum_{j=0}^{d-1} r_{\lambda,j} \cdot x^j \in R[x]\)
\(I\)를 \(r_{\lambda,j}\)에 의해 생성된 R에서 아이디얼이라로 놓습니다. \(I\)는 R보다 엄격하게 작기 때문에, 조온의 보조정리는 \(I\)를 포함하는 R에서 최대 아이디얼 M이 존재함을 의미합니다. 필드 \(K_1 = R/M\)은 K에서 계수를 갖는 모든 각 다항식 \(f_{\lambda}\)가 \(x-(u_{\lambda,i} + M)\)의 곱으로 분할하고, 따라서 \(K_1\)에서 모든 근을 가집니다. 같은 방법으로, \(K_1\)의 확장 \(K_2\)는 구성될 수 있고, 이런 식입니다. 모든 이들 확장의 합집합은 K의 대수적 클로저인데, 왜냐하면 이 새로운 필드의 계수를 가진 임의의 다항식은 충분하게 큰 n을 갖는 일부 \(K_n\)에서 계수를 가지고, 그런-다음 그것의 근은 \(K_{n+1}\)에 있고, 따라서 합집합 자체에 있기 때문입니다.
K[x]의 임의의 부분집합 S에 대해, K에 걸쳐 S의 분할 필드(splitting field)가 존재한다는 것은 같은 선을 따라 표시될 수 있습니다.
Separable closure
K의 대수적 클로저 \(K^{alg}\)는 \(K^{alg}\) 내에서 K의 모든 (대수적) 분리-가능 확장(separable extensions)을 포함하는 K의 고유한 분리-가능 확장 \(K^{sep}\)를 포함합니다. 이 부분확장은 K의 분리-가능 클로저(separable closure)라고 불립니다. 분리-가능 확장의 분리-가능 확장은 다시 분리-가능이기 때문에, 차수 > 1의 \(K^{sep}\)의 유한하게 분리-가능 확장은 없습니다. 이것을 다른 식으로 말하면, K는 분리-가능하게-닫힌 대수적 확장 필드에 포함됩니다. 그것은 (동형사상까지) 고유합니다.
분리-가능 클로저가 가득 찬 대수적 클로저인 것과 K가 완전 필드(perfect field)인 것은 필요충분 조건입니다. 예를 들어, K가 특성 p의 필드이고 X가 K에 걸쳐 초월적이면, \(K(X)(\sqrt[p]{X}) \supset K(X)\)는 비-분리가능 대수적 필드 확장입니다.
일반적으로, K의 절대 갈루아그룹(absolute Galois group)은 K에 걸쳐 \(K^{sep}\)의 갈루아 그룹입니다.
