수학(mathematics)에서, 숫자(number) a의 덧셈의 역(additive inverse)은, a에 더해질(added) 때, 영(zero)을 산출하는 숫자입니다. 이 숫자는 반대(opposite) (숫자), 부호 변경(sign change), 및 부정(negation)으로 역시 알려져 있습니다. 실수(real number)에 대해, 그것은 부호(sign)가 반전됩니다: 양수(positive number)의 반대는 음수이고, 음수(negative number)의 반대는 양수입니다. 영(zero)은 그 자체의 덧셈의 역원입니다.
a의 덧셈의 역은 단항(unary) 음의 부호(minus): : −a로 표시됩니다 (역시 아래의 § Relation to subtraction를 참조하십시오). 예를 들어, 7의 덧셈에 대한 역은 −7인데, 왜냐하면 7 + (−7) = 0이기 때문이고, −0.3의 덧셈의 역은 0.3인데, 왜냐하면 −0.3 + 0.3 = 0이기 때문입니다. 비슷하게, 2x - 3의 덧셈의 역은 -(2x - 3)인데, 왜냐하면 2x - 3 + -(2x - 3) = 0이기 때문입니다.
덧셈의 역은 덧셈의 이항 연산(binary operation) 아래에서 그것의 역원(inverse element)으로써 정의되며 (역시 아래 § Formal definition를 참조하십시오), 이것은 숫자 이외의 수학적 대상에 대한 폭넓은 일반화(generalization)를 허용합니다. 임의의 역 연산에 대한 것처럼, 이중(double) 덧셈의 역은 실제적인 효과는 없습니다: −(−x) = x입니다.
Common examples
숫자에 대해 및, 일반적으로 임의의 링(ring)에서, 덧셈의 역은 −1에 의한 곱셈(multiplication)을 사용하여 계산될 수 있습니다; 즉, −n = −1 × n입니다. 숫자의 링의 예제는 정수(integer), 유리수(rational number), 실수(real number), 및 복소수(complex number)가 있습니다.
Relation to subtraction
덧셈의 역은 뺄셈(subtraction)과 밀접하게 관련이 있으며, 이것은 반대의 덧셈으로 보일 수 있습니다:
역으로, 덧셈의 역은 영으로부터 뺄셈으로 생각될 수 있습니다:
따라서, 단항 음의 부호 표기법은, 비록 정확한 타이포그래피(typography)에서 단항 "−" 뒤에 여백(space)이 없어야 될지라도, 생략된 기호 "0"을 갖는 뺄셈에 대해 속기로 이해될 수 있습니다.
Other properties
부정은 다음 대수적 속성을 가집니다:
- − (- a) = a, 이것은 인볼루션 연산(Involutive operation)입니다.
- −(a + b) = (−a) + (−b)
- a − (−b) = a + b
- (−a) × b = a × (−b) = −(a × b)
- (−a) × (−b) = a × b, 특히,
Formal definition
표기법 +는 보통 교환적(commutative) 이항 연산에 대해 예약되어 있습니다; 즉, 모든 x, y에 대해 x + y = y + x을 만족합니다. 만약 그러한 연산이 항등 원소(identity element) o를 허용하면 (모든 x에 대해, x + o ( = o + x ) = x를 만족함), 이 원소는 고유합니다 ( o′ = o′ + o = o ). 주어진 x에 대해, 만약 x + x′ ( = x′ + x ) = o를 만족하는 x′가 존재하면, x′는 x의 덧셈의 역이라고 불립니다.
만약 +가 결합적(associative)이면 (모든 x, y, z에 대해, ( x + y ) + z = x + ( y + z )를 만족함), 덧셈의 역은 고유합니다. 이것을 보이기 위해, x′와 x″ 각각을 x의 덧셈의 역으로 놓으면,
예를 들어, 실수의 덧셈은 결합적이므로, 각 실수는 고유한 덧셈의 역을 가집니다.
Other examples
모든 다음 예제는 사실 아벨 그룹(abelian group)입니다:
- 복소수(complex number): −(a + bi) = (−a) + (−b)i. 복소 평면(complex plane) 위에서, 이 연산은 복소수를 원점(origin)을 중심으로 180 도(degrees) 회전(rotates)시킵니다 (위의 이미지를 참조하십시오).
- 실수- 및 복소수-값 함수의 덧셈: 여기서, 함수 f의 덧셈의 역은 모든 x에 대해 f + (−f ) = o를 만족하는 (−f )(x) = − f (x)에 의해 정의된 함수 −f, 영 함수입니다 (모든 x에 대해, o(x) = 0입니다).
- 보다 일반적으로, 앞에 오는 것은 아벨 그룹에서 값을 가진 모든 함수에 적용됩니다 ( '0'은 이 그때에 그룹의 항등 원소를 의미합니다).
- 수열(sequence), 행렬(matrices) 및 네트(nets)는 역시 함수의 특수한 종류입니다.
- 벡터 공간(vector space)에서, 덧셈의 역 −v은 종종 v의 반대 벡터라고 불립니다; 그것은 원래 것과 같은 크기(magnitude) 및 반대 방향을 가집니다. 덧셈의 역은 −1에 의한 스칼라 곱셈(scalar multiplication)에 해당합니다. 유클리드 공간(Euclidean space)에 대해, 그것은 원점에서 점 반사(point reflection)입니다. (음수에 곱해진) 정확히 반대 방향에서 벡터는 때때로 역평행(antiparallel)으로 참조됩니다.
- 벡터 공간(vector space)-값 함수 (선형일 필요는 없습니다),
- 모듈러 산술(modular arithmetic)에서, x의 모듈러 덧셈의 역은 역시 정의됩니다: 그것은 a + x ≡ 0 (mod n)를 만족하는 숫자 a입니다. 이 덧셈의 역은 항상 존재합니다. 예를 들어, 3 모듈러 11의 역은 8인데 왜냐하면 그것은 3 + x ≡ 0 (mod 11)에 대한 해이기 때문입니다.
Non-examples
자연수(natural number), 세는-숫자(cardinal number), 및 순서-숫자(ordinal number)는 그들의 각각의 집합(sets) 내에 덧셈의 역을 가지지 않습니다. 따라서, 예를 들어, 우리는 자연수가 덧셈의 역을 가지지만, 이들 덧셈의 역은 자체로 자연수가 아니기 때문에, 자연수의 집합은 덧셈의 역을 취하는 것 아래에서 닫혀 있지(closed) 않습니다.
See also
- Absolute value (related through the identity | −x | = | x | ).
- Multiplicative inverse
- Additive identity
- Involution (mathematics)
- Reflection symmetry
References
- Margherita Barile. "Additive Inverse". MathWorld.