수학(mathematics)에서, 덧셈(addition)의 연산(operation)을 갖추어 준 집합의 덧셈의 항등원(additive identity)은 집합에서 임의의 원소 x에 더해질 때, x를 산출하는 원소(element)입니다. 가장 친숙한 덧셈의 항등원 중 하나는 초등 수학(elementary mathematics)의 숫자(number) 0이지만 덧셈의 항등원은, 그룹(groups)과 링(rings) 안에서 처럼, 덧셈이 정의된 다른 수학적 구조에서 발생합니다.
Elementary examples
- 초등 수학(elementary mathematics)에서 익숙한 덧셈의 항등원은 0으로 표시됩니다. 예를 들어,
- 5 + 0 = 5 = 0 + 5.
- (만약 0이 포함되면) 자연수(natural number) N, 정수(integer) Z, 유리수(rational number) Q, 실수(real number) R, 및 복소수(complex number) C에서, 덧셈의 항등원은 0입니다. 이것은 이들의 임의의 것에 속하는 숫자(number) n에 대해, 다음임을 말합니다:
- n + 0 = n = 0 + n.
Formal definition
N을 덧셈(addition)의 연산(operation) 아래에서 닫혀 있는 그룹(group)으로 놓으며, +로 표시됩니다. N에 대해 덧셈의 항등원은, e로 표시되며, N에서 임의의 원소 n에 대해 다음을 만족하는 N에서 원소입니다:
\(\quad\)e + n = n = n + e
예제: 공식은 n + 0 = n = 0 + n입니다.
Further examples
- 그룹(group)에서, 덧셈의 항등원은 그룹의 항등 원소(identity element)이고, 종종 0으로 표시되고, 고유합니다 (증명에 대해 아래를 참조하십시오).
- 링(ring) 또는 그룹(field)은 덧셈의 연산 아래에서 그룹이고 따라서 이것들은 역시 고유한 덧셈의 항등원 0을 가집니다. 이것은 만약 링 (또는 필드)에 하나보다 많은 원소를 가지면 곱셈의 항등원(multiplicative identity) 1과 다른 것으로 정의됩니다. 만약 덧셈의 항등원과 곱셈의 항등원이 같으면, 링은 자명한(trivial) 것입니다 (아래에 입증됩니다).
- 링 R에 걸쳐 m × n 행렬(matrices)의 링 \(M_{m\times n}(R)\)에서, 덧셈의 항등원은 영 행렬이고, O 또는 0으로 표시되고, 그것의 엔트리가 R에서 항등 원소 0으로 전체적으로 구성되는 m × n 행렬입니다. 예를 들어, 정수 \(M_2(\mathbf{Z})\)에 걸쳐 2×2 행렬에서, 덧셈의 항등원은 다음입니다:
- \(\quad\)\(0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
- 쿼터니언(quaternions)에서, 0은 덧셈의 항등원입니다.
- R에서 R로의 함수(function)의 링에서, 각 숫자를 0으로 매핑(mapping)하는 함수는 덧셈의 항등원입니다.
- \(\mathbf{R}^n\)에서 벡터(vector)의 덧셈의 그룹(additive group)에서, 원점 또는 영 벡터(zero vector)는 덧셈의 항등원입니다.
Properties
The additive identity is unique in a group
(G, +)를 그룹으로 놓고 G에서 0과 0' 둘 다는 덧셈의 항등원을 나타내며, 따라서 G에서 임의의 g에 대해, 다음입니다:
\(\quad\)0 + g = g = g + 0 and 0' + g = g = g + 0'
다음임은 위로부터 따릅니다:
\(\quad\)0' = 0' + 0 = 0' + 0 = 0
The additive identity annihilates ring elements
덧셈에 걸쳐 분배하는 곱셈 연산을 갖는 시스템에서, 덧셈의 항등원은 곱셈의 흡수하는 원소(absorbing element)이며, S에서 임의의 s에 대해 s · 0 = 0임을 의미합니다. 이것은 다음이기 때문에 알 수 있습니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
s \cdot 0 &= s \cdot (0 + 0) = s \cdot 0 + s \cdot 0 \\
\Rightarrow s \cdot 0 &= s \cdot 0 - s \cdot 0 \\
\Rightarrow s \cdot 0 &= 0
\end{align}\)
The additive and multiplicative identities are different in a non-trivial ring
R을 링으로 놓고 덧셈의 항등원 0과 곱셈의 항등원 1이 같다, 또는 0 = 1이라고 가정합니다. r을 R에서 임의의 원소(element)로 놓습니다. 그런-다음
\(\quad\)r = r × 1 = r × 0 = 0
R이 자명한 것, 즉, R = {0}이라는 조건 아래에서 제공됩니다. 대우(contrapositive), 만약 R이 비-자명한 것이면 0이 1과 같지 않다는 것이 따라서 표시됩니다.
See also
Bibliography
- David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3rd ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.
External links