숫자 이론(number theory)에서, 덧셈의 함수(additive function)는 a와 b가 서로소일 때마다, 곱의 함수가 함수의 합임을 만족하는 양의 정수(integer) n의 산술 함수(arithmetic function) f(n)입니다:
- f(ab) = f(a) + f(b).
Completely additive
덧셈의 함수 f(n)은 만약 f(ab) = f(a) + f(b)가 모든 양의 정수 a와 b에 대해, 심지어 그것들이 서로소가 아닐지라도, 유지된다면, 완전히 덧셈적(completely additive)이라고 말합니다. 전체적으로 덧셈적(Totally additive)은 역시 전체적으로 곱셈의(totally multiplicative) 함수와 아날로그에 의한 이런 의미에서 사용됩니다. 만약 f가 완전히 덧셈적 함수이면, f(1) = 0입니다.
모든 각 완전히 덧셈적 함수는 덧셈적이지만, 그 반대는 아닙니다.
Examples
완전히 덧셈적인 산술 함수의 예제는 다음입니다:
- 로그 함수(logarithmic function)를 N으로 제한.
- n에서 소수 인수 p의 중복도(multiplicity), 즉 pm이 n을 나누는 가장 큰 지수m.
- \(a_0(n)\) - 중복도를 세는 n을 나누는 소수의 합, 때때로 sopfr(n)로 불리며, n의 포튼시 또는 n의 정수 로그 (OEIS에서 수열 A001414). 예를 들어:
- \(a_0(4)=2+2=4\)
- \(a_0(20)=a_0(2^2\cdot 5)=2+2+5=9\)
- \(a_0(27)=3+3+3=9\)
- \(a_0(144)=a_0(2^4\cdot 3^2)=a_0(2^4)+a_0(3^2)=8+6=14\)
- \(a_0(2,000)=a_0(2^4\cdot 5^3)=a_0(2^4)+a_0(5^3)=8+15=23\)
- \(a_0(2,003)=2003\)
- \(a_0(54,032,858,972,279)=1240658\)
- \(a_0(54,032,858,972,302)=1780417\)
- \(a_0(20,802,650,704,327,415)=1240681\)
- 함수 Ω(n), 여러 인수 중복 회수를 세는, n의 소수 인수의 전체 숫자로 정의되며, 때때로 "큰 오메가 함수"라고 불립니다 (OEIS에서 수열 A001222). 예를 들어:
- Ω(1) = 0, 왜냐하면 1은 소수를 가지지 않기 때문입니다.
- Ω(4) = 2
- Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4
- Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3
- Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3
- Ω(144) = Ω(24 · 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6
- Ω(2,000) = Ω(24 · 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7
- Ω(2,001) = 3
- Ω(2,002) = 4
- Ω(2,003) = 1
- Ω(54,032,858,972,279) = 3
- Ω(54,032,858,972,302) = 6
- Ω(20,802,650,704,327,415) = 7
덧셈적이지만 완전히 덧셈적은 아닌 산술 함수의 예제는 다음입니다:
- ω(n), n의 다른 소수 인수(prime factors)의 전체 숫자로 정의됩니다 (OEIS에서 수열 A001221). 예를 들어:
- ω(4) = 1
- ω(16) = ω(24) = 1
- ω(20) = ω(22 · 5) = 2
- ω(27) = ω(33) = 1
- ω(144) = ω(24 · 32) = ω(24) + ω(32) = 1 + 1 = 2
- ω(2,000) = ω(24 · 53) = ω(24) + ω(53) = 1 + 1 = 2
- ω(2,001) = 3
- ω(2,002) = 4
- ω(2,003) = 1
- ω(54,032,858,972,279) = 3
- ω(54,032,858,972,302) = 5
- ω(20,802,650,704,327,415) = 5
- \(a_1(n)\) - n을 나누는 구별되는 소수의 합, 때때로 sopf(n)으로 불립니다 (OEIS에서 수열 A008472). 예를 들어:
- \(a_1(1)=0\)
- \(a_1(4)=2\)
- \(a_1(20)=2+5=7\)
- \(a_1(27)=3\)
- \(a_1(144)=a_1(2^4\cdot 3^2)=a_1(2^4)+a_1(3^2)=2+3=5\)
- \(a_1(2,000)=a_1(2^4\cdot 5^3)=a_1(2^4)+a_1(5^3)=2+5=7\)
- \(a_1(2,001)=55\)
- \(a_1(2,002)=33\)
- \(a_1(2,003)=2003\)
- \(a_1(54,032,858,972,279)=1238665\)
- \(a_1(54,032,858,972,302)=1780410\)
- \(a_1(20,802,650,704,327,415)=1238677\)
Multiplicative functions
임의의 덧셈의 함수 f(n)으로부터, 관련된 곱셈의 함수(multiplicative function) g(n), 즉, a와 b가 서로소일 때마다 우리가 다음을 가진다는 속성을 갖는 것을 생성하는 것은 쉽습니다:
\(\quad\)g(ab) = g(a) × g(b).
하나의 그러한 예제는 g(n) = 2f(n)입니다.
Summatory functions
덧셈의 함수 \(f\)가 주어지면, 그것의 합하는 함수를 \(\displaystyle \mathcal{M}_f(x) := \sum_{n \leq x} f(n)\)에 의해 정의되는 것으로 놓습니다. \(f\)의 평균은 다음으로 정확하게 주어집니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \mathcal{M}_f(x) = \sum_{p^{\alpha} \leq x} f(p^{\alpha}) \left(\left\lfloor \frac{x}{p^{\alpha}} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{x}{p^{\alpha+1}} \right\rfloor\right). \)
\(f\)에 걸쳐 합하는 함수는 \(\mathcal{M}_f(x) = x E(x) + O(\sqrt{x} \cdot D(x))\)로 확장될 수 있으며, 여기서
\(\quad\)\( \begin{align}
E(x) & = \sum_{p^{\alpha} \leq x} f(p^{\alpha}) p^{-\alpha} (1-p^{-1}) \\
D^2(x) & = \sum_{p^{\alpha} \leq x} |f(p^{\alpha})|^2 p^{-\alpha}.
\end{align}
\)
함수 \(f^2\)의 평균은 역시 다음처럼 이들 함수에 의해 표현될 수 있습니다:
\(\quad\)\(\mathcal{M}_{f^2}(x) = x E^2(x) + O(x D^2(x)).\)
모든 자연수 \(x \geq 1\)에 대해 다음을 만족하는 절대의 상수 \(C_f > 0\)가 항상 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \sum_{n \leq x} |f(n) - E(x)|^2 \leq C_f \cdot x D^2(x).\)
다음을 놓습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \nu(x; z) := \frac{1}{x} \#\left\{n \leq x: \frac{f(n)-A(x)}{B(x)} \leq z\right\}.\)
\(f\)가 \(x \rightarrow \infty\)일 때, 다음을 만족하는 \(-1 \leq f(p^{\alpha}) = f(p) \leq 1\)을 갖는 덧셈의 함수라고 가정합니다:
\(\quad\)\(\displaystyle B(x) = \sum_{p \leq x} f^2(p) / p \rightarrow \infty. \)
그런-다음 \(\nu(x; z) \sim G(z)\)이며 여기서 \(G(z)\)는 가우스 분포 함수(Gaussian distribution function)입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle G(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} dt.\)
소수 오메가 함수(prime omega function)와 이동된 소수의 소수 약수와 관련된 이 결과의 예제는 고정된 \(z \in \mathbb{R}\)에 대해 다음을 포함하여 여기서 관계는 \(x \gg 1\)에 대해 유지됩니다:
\(\quad\)\(\#\{n \leq x: \omega(n) - \log\log x \leq z (\log\log x)^{1/2}\} \sim x G(z), \)
\(\quad\)\(\#\{p \leq x: \omega(p+1) - \log\log x \leq z (\log\log x)^{1/2}\} \sim \pi(x) G(z). \)
See also
Further reading
- Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
- Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).