절대적 무한(absolute Infinite, 기호: Ω)는 수학자 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 의해 제안된 무한대(infinity)에 대한 아이디어의 확대입니다.
그것은, 임의의 생각할 수 있거나 상상도 할 수 없는 양, 유한 또는 초월유한(transfinite)보다 더 큰 숫자로써 생각될 수 있습니다.
칸토어는 절대적 무한을 신(God)과 연결시켰고, 그것은 반사 원리(reflection principle)를 포함하는, 다양한 수학적(mathematical) 성질을 가지고 있다고 믿었습니다: 절대 무한의 모든 각 속성은 어떤 더 작은 대상에 대해 역시 유지됩니다.
Cantor's view
칸토어는 말했습니다:
실제 무한은 세 가지 관계에 의해 구분되었습니다: 첫째, 그것이 최고의 완전성에서, 완전한 독립에서, 외계의 존재에서 실현되었기 때문에, Deo에서, 여기서 나는 그것을 절대적 무한 또는 단순히 절대적이라고 부릅니다; 두 번째 그것이 의존하는, 창조적 세계에서 표현되는 것을 확대하는 것; 세 번째 수학적 크기, 숫자 또는 순서-유형으로 생각할 때 추상에서 생각될 수 있기 때문입니다. 후자의 두 관계에서, 여기서 그것은 제한적이고 더 많은 증식을 할 수 있고 따라서 유한한 것에 친숙한 것으로 자체로 분명히 드러나며, 나는 그것을 초월-유한(Transfinitum)이라고 부르고 절대적인 것과 강하게 대조합니다.
칸토어는 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)에게 보낸 편지에서 역시 그 아이디어를 언급했습니다 (원본에는 대괄호 안의 텍스트가 없습니다):
중복도(multiplicity)는 만약 그것이 모든 각 부분-다중도가 첫 번째 원소(element)를 가지는 조건을 충족하면 바른-순서화(well-ordered)된 것이라고 불립니다; 그러한 중복도를 나는 짧게 "수열"이라고 부릅니다.
...
이제 나는 모든 [보통의] 숫자의 시스템을 관찰하고 그것을 Ω로 표시합니다.
...
크기에 따른 자연스러운 순서에서 시스템 Ω는 "수열"입니다.
이제 이 수열에 대한 추가적인 원소로 0을 인접하고, 분명히 첫 번째 위치에 그것을 배치하겠습니다; 그런-다음 우리는 수열 Ω′을 얻습니다:
0, 1, 2, 3, ... \(\omega_0\), \(\omega_0+1\), ..., γ, ...
그 중에서 우리는 그것에서 발생하는 모든 각 숫자 γ가 모든 그것의 (0을 포함하여) 선행하는 원소의 수열의 유형 [즉, 순서-유형]임을 우리 스스로 쉽게 확신할 수 있습니다. (수열 Ω는 \(\omega_0+1\)에 대해 먼저 이 속성을 가집니다. [\(\omega_0+1\)는 \(\omega_0\)이어야 합니다.])
이제 Ω′ (그리고 따라서 역시 Ω)은 일치된 중복도가 될 수 없습니다. 만약 Ω′이 일치되면, 바른-순서화된 집합으로서, 숫자 δ는 시스템 Ω의 모든 숫자보다 더 클 것이라는 것에 해당입니다; 숫자 δ는, 어쨌든, 시스템 Ω에 역시 속하는데, 왜냐하면 그것은 모든 숫자를 포함하기 때문입니다. 따라서 δ는 δ보다 더 클 것이며, 이것은 모순입니다. 그러므로:모든 [보통의] 숫자의 시스템 Ω는 불일치, 절대적으로 무한 중복도입니다.
The Burali-Forti paradox
모든 순서-숫자의 모음이 논리적으로 존재할 수 없다는 아이디어는 많은 사람들에게 역설적(paradoxical)으로 보입니다. 이것은 가장 큰 순서-숫자(ordinal number)가 있을 수 없다고 말하는 체사레 부랄리-포르티의 "역설"(Cesare Burali-Forti's "paradox")과 관련됩니다. 이들 모든 문제는, 논리적으로 정의될 수 있는 모든 각 속성에 대해, 해당 속성을 가진 모든 대상의 집합이 존재한다는 아이디어로 거슬러 올라갈 수 있습니다. 어쨌든, (위의) 칸토어의 논증에서와 같이, 이 아이디어는 어려움을 초래합니다.
보다 일반적으로, 애드리안 윌리엄 무어(A. W. Moore)가 지적한 바와 같이, 집합(set) 형성 과정은 끝이 없을 수 있고, 따라서 모든 집합의 전체성(totality of all sets), 또는 집합 계층(set hierarchy)과 같은 것은 없습니다. 임의의 그러한 전체성은 그 자체가 집합이어야 하며, 따라서 계층(hierarchy) 내 어딘가에 놓여 있고 따라서 모든 각 집합을 포함하지 못합니다.
이 문제에 대한 표준 해결책은 체르멜로의 집합 이론(Zermelo's set theory)에서 찾을 수 있으며, 이것은 임의의 속성으로부터 집합의 비-제한된 형성을 허용하지 않습니다. 오히려, 우리는 주어진 속성을 가지고 어떤 주어진 집합에 놓여있는 (체르멜로의 분리의 공리(Axiom of Separation)) 모든 대상들의 집합을 형성할 수 있습니다. 이것은 속성에 기반한 집합의 형성을 허용하지만, 제한된 의미에서, (바라건대) 이론의 일치성을 보존합니다.
이것이 논리적 문제를 해결하는 동안, 어떤 사람은 철학적 문제는 여전히 남아 있다고 주장할 수 있습니다. 개체가 존재하는 한, 개체의 집합이 존재해야 하는 것은 당연한 것 같습니다. 사실, 소박한 집합 이론(naive set theory)은 이 개념에 기초한다고 말할 수 있습니다. 비록 체르멜로의 수정이 클래스(class)를 임의의 (아마도 "큰") 엔터디를 설명하는 것을 허용할지라도, 이러한 메타-언어(meta-language)의 술어는 이론 내에서 공식적인 존재 (즉, 집합으로)를 가지지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 모든 집합의 클래스는 적절한 클래스(proper class)가 될 것입니다. 이것은 철학적으로 어떤 것에서 불만족스럽고 집합 이론(set theory)과 윌러드 밴 오먼 콰인(Willard Van Orman Quine)의 New Foundations과 같은 수학의 기초를 공식화하는 다른 방법에 대한 추가적인 작업을 동기 부여했습니다.