수학(mathematics)에서, 흡수하는 원소(absorbing element 또는 소멸하는 원소(annihilating element))는 해당 집합(set)에 대한 이항 연산(binary operation)에 관한 집합의 특별한 유형의 원소입니다. 흡수하는 원소를 집합의 임의의 원소와 결합한 결과는 흡수하는 원소 자체입니다. 반-그룹(semigroup) 이론에서, 흡수하는 원소는 영 원소(zero element)라고 불리는데, 왜냐하면 영의 다른 개념과 혼동의 위험이 없기 때문이며, 주목할 만한 예외와 함께: 덧셈의 표기법 아래에서 영은, 꽤 자연스럽게, 모노이드의 중립 원소를 나타낼 수 있습니다. 이 기사에서, "영 원소"와 "흡수하는 원소"는 동의어입니다.
Definition
비공식적으로, (S, •)를 (마그마(magma)로 알려진) 그것 위에 닫힌 이항 연산 •을 갖는 집합 S로 놓습니다. 영 원소는 S에서 모든 s에 대해, z • s = s • z = z를 만족하는 원소 z입니다. 정제는 왼쪽 영의 개념이며, 여기서 우리는 z • s = z임을 오직 요구하고, 오른쪽 영에서 s • z = z임을 요구합니다.
흡수하는 원소는 반-그룹, 특히 반-링(semiring)의 곱셈의 반-그룹(semigroup)에 대해 특히 흥미롭습니다. 0을 갖는 반-링의 경우에서, 흡수하는 원소의 정의는 그것이 흡수 0을 요구하는 것이 없도록 때때로 완화됩니다; 그렇지 않으면, 0이 유일한 흡수하는 원소일 것입니다.
Properties
- 만약 마그마가 왼쪽 영 z와 오른쪽 영 ''z′ 둘 다를 가지면, 그것은 영을 가지는데, 왜냐하면 z = z • z′ = z′이기 때문입니다.
- 마그마는 많아야 하나의 영 원소를 가질 수 있습니다.
Examples
- 흡수하는 원소의 가장 잘 알려진 예제는 기본 대수에서 비롯되며, 여기서 영에 의한 곱해진 임의의 숫자는 영입니다. 영은 따라서 흡수하는 원소입니다.
- 임의의 링(ring)의 영은 역시 흡수하는 원소입니다. 링 R의 원소 r에 대해, r=r(1+0)=r+r0이므로, r0=0인데, 왜냐하면 영은 링 R에서 임의의 r에 대해 r+a=r인 고유한 원소 a이기 때문입니다.
- IEEE-754 표준에 정의된 것처럼 부동 점(Floating point) 산술은 Not-a-Number ("NaN")라는 특수 값을 포함합니다. 그것은 모든 연산에 대한 흡수하는 원소입니다; 즉, x + NaN = NaN + x = NaN, x − NaN = NaN − x = NaN, 등.
- 집합 X에 걸쳐 이항 관계(binary relations)의 집합은, 관계의 합성(composition of relations)과 함께, 영을 갖는 모노이드(monoid)를 형성하며, 여기서 영 원소는 빈 관계(empty relation) (빈 집합(empty set))입니다.
- x • y = min(x, y)을 갖는 닫힌 구간 H = [0, 1]은 역시 영을 갖는 모노이드이고, 영 원소는 0입니다.
- 더 많은 예제:
| 도메인 | 연산 | 흡수자 | ||
| 실수 | ⋅ | 곱셈 | 0 | |
| 정수 | 최대 공통 약수 | 1 | ||
| n-×-n 정사각 행렬(matrices) | 행렬 곱셈 | 모든 영들의 행렬 | ||
| 확장된 실수 | 최솟값/하한 | −∞ | ||
| 최댓값/상한 | +∞ | |||
| 집합(Set) | ∩ | 교집합 | ∅ | 빈 집합 |
| 집합 M의 부분집합 | ∪ | 합집합 | M | |
| 부울 논리(Boolean logic) | ∧ | 논리 곱 | ⊥ | 허위 |
| ∨ | 논리 합 | ⊤ | 진리 | |
See also
- Idempotent (ring theory) – an element x of a ring such that \(x^2=x\)
- Identity element
- Null semigroup
References
- Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9.
- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
- Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. ISBN 0-7923-5786-8.
External links
- Absorbing element at PlanetMath