(번역) 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

수학(mathematics)에서, 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯는 그것의 항이 교대하는 부호를 갖는 연속적인 이의 거듭제곱(powers of two)인 무한 급수(infinite series)입니다. 기하 급수(geometric series)로서, 그것은 첫 번째 항, 1과 공통 비율, –2에 의해 특성화됩니다:
$$${\displaystyle \sum _{k=0}^n(-2{)}^k}$
실수(real number)의 급수로서, 그것은 발산(diverges)하므로, 보통 의미에서 그것은 합을 가지지 않습니다. 훨씬 더 넓은 의미에서, 그 급수는 ∞ 이외의 다른 값, 즉 1/3과 결합되며, 이것은 2-진수 메트릭을 사용하는 급수의 극한입니다.

Historical arguments

고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)는 일찍이 1673년에 발산하는 교대 급수 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ⋯을 고려했습니다. 그는 왼쪽이나 오른쪽에서 뺌으로써, 양의 무한대나 음의 무한대를 생성할 수 있고, 따라서 두 답이 모두 틀렸고 전체가 유한해야 한다고 주장했습니다:

이제 통상적으로 본성은 둘 중 어느 것도 허용되지 않거나, 오히려 둘 중 어느 것이 허용되는지 결정될 수 없고, 전체가 유한한 양과 같으면 중간을 선택합니다

라이프니츠는 그 급수가 합을 가진다고 주장하지는 않았지만, 그는 메르카토르(Mercator)의 방법에 따라 1/3과의 결관성을 추론했습니다. 급수가 실제로 합으로 합해지지 않고 일부 유한한 양과 같을 수 있다는 태도는 비록 현대 수학에서 구별이 이루어지지 않았지만 18세기에 일반화되었습니다.
크리스티안 볼프(Christian Wolff)가 1712년 중반에 그란디 급수(Grandi's series)의 라이프니츠의 처리를 읽은 후, 볼프는 그 해에 매우 만족하여 그는 산술 평균 방법을 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ⋯와 같은 더 발산하는 급수로 확장하려고 했습니다. 간단하게 말해서, 만약 우리가 이 급수의 부분 합을 끝에서 두 번째 항의 함수로 표현하면, 우리는 $\frac{4m+1}{3}$ 또는 $\frac{-4n+1}{3}$ 중 하나를 얻습니다. 이들 값의 평균은 $\frac{2m-2n+1}{3}$이고, 무한대에서 m = n이라고 가정하면 급수의 값으로 1/3을 산출합니다. 라이프니츠의 직관은 그에게서 자신의 해를 여기까지 긴장시키는 것을 막았었고, 그는 볼프의 아이디어가 흥미롭지만 몇 가지 이유로 유효하지 않다고 회신했습니다. 이웃하는 부분 합의 산술 평균은 임의의 특정 값으로 수렴하지 않고, 모든 유한 경우에 대해 우리는 n = m이 아니라 n = 2m를 가집니다; 일반적으로 합-가능한 급수의 항은 영으로 감소해야 합니다; 심지어 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 조차도 그러한 급수의 극한으로 표현될 수 있습니다. 라이프니츠는 볼프에게 그가 "과학과 그 자신에게 합당한 것을 생산할 수 있도록" 재고하라고 조언합니다.

Modern methods

Geometric series

정규성, 선형성, 및 안정성의 속성을 보유하는 임의의 합계 방법은 기하 급수(geometric series)를 합할 것입니다:
$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k=\frac{a}{1-r}.}$
이 경우에서 a = 1와 r = −2이므로, 그 합은 1/3입니다.

Euler summation

그의 1755년 Institutiones에서, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 발산 급수 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯에 도달하는 이제 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯의 오일러 변환(Euler transform)이라고 불리는 것을 효과적으로 취했습니다. 후자의 합해서 1/3이므로, 오일러는 1 − 2 + 4 − 8 + ... = 1/3라고 결론지었습니다. 무한 급수에 대한 그의 아이디어는 현대적 접근 방식을 따르지 않습니다; 오늘날 어떤 사람은 1 − 2 + 4 − 8 + ...가 오일러 합-가능(Euler summable)하고 그것의 오일러 합이 1/3이라고 말합니다.
오일러 변환은 양수 항의 수열로 시작합니다:
$$$a_0=1$,
$$$a_1=2$,
$$$a_2=4$,
$$$a_3=8$,...
순방향 차이(forward difference)의 수열은 그런-다음 다음입니다:
$$$\mathrm{\Delta }{a}_0=a_1-a_0=2-1=1$,
$$$\mathrm{\Delta }{a}_1=a_2-a_1=4-2=2$,
$$$\mathrm{\Delta }{a}_2=a_3-a_2=8-4=4$,
$$$\mathrm{\Delta }{a}_3=a_4-a_3=16-8=8$,...
이것은 단지 같은 수열입니다. 따라서 반복된 순방향 차이 수열은 모두 각 n에 대해 ${\mathrm{\Delta }}^n{a}_0=1$로 시작합니다. 오일러 변환은 다음 급수입니다:
$$${\displaystyle \frac{a_0}{2}-\frac{\mathrm{\Delta }{a}_0}{4}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^2{a}_0}{8}-\frac{{\mathrm{\Delta }}^3{a}_0}{16}+\cdots =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots .}$
이것은 그것의 합이 보통 공식에 의해 1/3인 수렴 기하 급수(geometric series)입니다.

Borel summation

1 − 2 + 4 − 8 + ⋯의 보렐 합(Borel sum)은 역시 1/3입니다; 에밀 보렐(Émile Borel)이 1896년 보렐 합계의 극한 공식을 도입했을 때, 이것은 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 이후 그의 첫 번째 예제 중 하나였습니다.

p-adic numbers

2-진수 메트릭에서 $1-2+4-8\dots$와 결합된 부분 합(partial sum)의 수열은 다음입니다:
$$$1,-1,3,-5,11,\dots$
그리고 이의 보수를 사용하여 밑수 2에서 표현될 때,
$$$\bar{0}1,\bar{1}1,\bar{0}11,\bar{1}011,\bar{0}1011,\dots$
그리고 이 수열의 극한은 2-진수 메트릭에서 $\overline{01}1=\frac{1}{3}$입니다. 따라서 $1-2+4-8\dots =\frac{1}{3}$입니다.

See also

• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

References

• Euler, Leonhard (1755). Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum.
• Ferraro, Giovanni; Panza, Marco (February 2003). "Developing into series and returning from series: A note on the foundations of eighteenth-century analysis". Historia Mathematica. 30 (1): 17–46. doi:10.1016/S0315-0860(02)00017-4.
• Gerhardt, C. I. (1860). Briefwechsel zwischen Leibniz und Christian Wolf aus den handschriften der Koeniglichen Bibliothek zu Hannover. Halle: H. W. Schmidt.
• Knobloch, Eberhard (2006). "Beyond Cartesian limits: Leibniz's passage from algebraic to "transcendental" mathematics". Historia Mathematica. 33: 113–131. doi:10.1016/j.hm.2004.02.001.
• Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. ISBN 3-540-21058-X.
• Leibniz, Gottfried (2003). Probst, S.; Knobloch, E.; Gädeke, N. (eds.). Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe 7, Band 3: 1672–1676: Differenzen, Folgen, Reihen. Akademie Verlag. ISBN 3-05-004003-3.
• Moore, Charles (1938). Summable Series and Convergence Factors. AMS. LCC QA1 .A5225 V.22
• Smail, Lloyd (1925). History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. LCC QA295 .S64