고등학교의 확률 단원은 매우 제한적인 경우만을 다룹니다. 그래서 자신 있게 풀 수 있는 문제가 확률 문제이지만, 어이없이 틀리는 문제도 이것일 수 있습니다. 왜냐하면, 확률은 경우의 수(순열, 조합)을 확실히 이해하지 못하면 풀 수가 없는 문제들이 꽤 있기 때문입니다. 그렇기 때문에, 우선적으로 경우의 수 부분을 정확히 이해하는 것이 필요합니다. 또한, 다시 한번 강조하지만, 사건은 집합이므로, 집합으로 접근할 수 있는 모든 방법론을 그대로 사용할 수 있습니다. 확률은 표본 공간에 대한 어떤 사건의 비율을 나타내는 경우가 대부분이므로, 집합적으로 생각하는 것이 더 도움이 될 수 있습니다.
수학적 확률
한 개의 공정한 (또는 편견없는) 주사위를 던지는 실험에서, 표본 공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}이고, 3의 배수의 눈이 나올 확률은, 결과가 {3, 6}의 2개이므로 \(\frac{1}{3}\left(=\frac{2}{6}\right)\)이라고 합니다.
이와 같이 어떤 실험에서 사건 \(A\)가 일어날 가능성을 숫자로 나타낸 것을 사건 \(A\)의 확률이라고 하고, 이것을 기호로
\(\quad\)\(P(A)\)
로 나타냅니다.
일반적으로 어떤 실험에서, 표본공간 \(S\)가 \(n\)개의 근원사건으로 이루어져 있고, (보통 공정한 (또는 편견 없는) 대상에 대해), 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때, 사건 \(A\)가 \(r\)개의 근원사건으로 이루어지면, 사건 \(A\)가 일어날 확률 \(P(A)\)를 다음과 같이 정의합니다:
\(\quad\)\(\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{r}{n}\)
이것을 사건 \(A\)가 일어날 수학적 확률이라고 말합니다.
표본공간이 유한 개로 이루어진 경우에 대해, 확률
\(\quad\)\(\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(S)} = \frac{(\mathrm{사건\; A가\; 일어날\; 경우의 수})}{(\mathrm{모든\; 경우의\; 수})}\)
은, 일반적으로, 순열, 조합 등의 경우의 수를 2번 계산하는 문제입니다. 이때, 순열, 조합 등의 일반적인 규칙이 발견되지 않거나, 불규칙적으로 발생하면, 각 경우에 대해, 개별적으로 경우의 수를 중복되지 않게 세어야 합니다.
따라서, 수학적 확률을 잘 이해하는 것은 경우의 수의 잘 이해하는 것으로 시작할 필요가 있습니다.
기하학적 확률
수학적 확률은 유한한 표본공간을 갖지만, 상대적으로 유한한 숫자로 나타낼 수 없는 것들이 있습니다.
예를 들어, 반드시 원판에 명중되는 사건에서, \(A\) 영역에 화살이 놓일 사건의 확률을 구할 때, 화살이 놓일 수 있는 경우의 수를 유한하게 판정할 수 없으므로, 다음과 같이 정의합니다:
\(\quad\)\(\displaystyle P(A) = \frac{(\mathrm{영역\; A의\; 넓이})}{(\mathrm{원판\; 전체의\; 넓이})}\)
이와 같이 표본공간을 유한하게 정의할 수 없을 때, 표본공간의 성질, 길이, 넓이, 부피 등에 대해 확률을 적용하는 것을 기하학적 확률이라고 합니다.
이때에도, 마찬가지로 임의의 가능한 경우는 잘 정의되어야 하고, 같은 가능성으로 기대되어야 합니다. 예를 들어, 경계에 놓이는 경우 따위는 없거나, 또는 경계의 넓이 등을 무시해서 가능성이 없음을 표시해야 합니다.
통계적 확률
무엇이든지 항상 처음이 있습니다. 예를 들어, 과거에 백열전구, 형광등, 삼파장 전등, 요즘은 LED 전등 등을 이용합니다.
백열전등은 오랫동안 사용해 왔기 때문에, 전구를 사면서, 평균적으로 10000시간을 사용할 수 있을 것이라는 데이터를 가지고 있습니다. 이 값은, 그전에 사용했던 경험을 축적해서, 평균적인 데이터를 만든 것입니다.
한편, 우리는 공정한 주사위의 1의 눈이 나올 확률이 1/6이라고 알고 있습니다. 그러나, 6번 던졌을 때, 1의 눈이 1번 나올 것이라는 것은, 경험적으로 믿지 않을 것입니다.
이런 차이는 경험의 쌓인 정도에 따라 달라집니다. 만약, 공정한 주사위를 육만 번 정도 던지면, 1의 눈은 거의 만번 정도 나올 것이라는 것은 경험적으로 이미 알려져 있습니다.
일반적으로 어떤 실험을 n번 반복할 때, 사건 A가 r번 발생한다고 놓습니다. 이때, n을 충분히 크게 함에 따라 상대도수 r/n이 일정한 값 p에 가까워지면 p를 사건 A가 일어날 통계적 확률이라고 하고, 만약, 대응하는 실험의 수학적 확률이 존재하고, 충분히 많은 실험을 진행하면, 그 값은 수학적 확률에 점점 가까워집니다.
응용예제
용용예제1
문제: 집합 \(\{a,b,c,d,e\}\)의 부분집합 중에서 임의로 공집합이 아닌 두 집합을 택하여 각각 \(A,B\)라고 할 때, \(A \cup B = \emptyset\)일 확률은? (단, \(A\neq B\))
응용예제2
갑, 을 두 사람이 오후 12시와 1시 사이에 약속 장소에서 만나기로 하였다. 누가 먼저 도착하더라도 20분 이상은 기다리지 않기로 할 때, 갑과 을 두 사람이 오후 12시와 1시 사이에 약속 장소에서 만나게 될 확률은?
