다항식의 곱셈공식은 자주 사용하는 다항식의 전개 결과를 다룹니다. 그렇지만, 차수가 올라갈수록 기억해야 할 식이 복잡해지기 때문에 높은 차수를 잘 다루지 않습니다.
한편, 곱셈공식에서 같은 식에 대해 거듭제곱만 바뀐 식이 있습니다:
\(\quad\)\( \left(a+b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\(\quad\)\( \left(a+b\right)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
이 식 \((a+b)\)는 단항식이 아닌 이항식을 일반화한 모양입니다. 그래서, 더 복잡한 식의 전개를 다루기 전에, 가장 먼저 이 이항식의 높은 거듭제곱의 전개를 알아둘 필요가 있습니다. 이와 같이 이 이항식의 \(n\)번째 거듭제곱 \((a+b)^n\)에 대한 결과를 다루는 것이 이항정리 또는 이항전개입니다.
예를 들어, 다음 식을 전개해 보십시오.
\(\quad\)\((a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\)
전개는 곱의 법칙을 따르기 때문에, 이항식 \((a+b)\) 각각마다 \(a\) 또는 \(b\)를 선택할 수 있으므로, 전체 2×2×2×2=16가지의 경우의 수가 발생합니다. 따라서, 전개했을 때, 16개의 항이 만들어고, 동류항을 정리하면 5개의 서로 다른 항이 만들어집니다.
먼저, 왜 5개의 서로 다른 항이 만들어질까요? 그 이유는 다음과 같습니다.
- 선택의 횟수는 전체 4번입니다.
- 각 선택마다 \(a\) 또는 \(b\)를 선택할 수 있습니다.
- 그러므로, \(a\) 또는 \(b\)를 선택한 횟수에 따라 서로 다른 항이 만들어집니다.
- 만약 전체 4번 모두 \(a\)를 선택하면, \(a^4 b^0\)이고, 같은 이유에서,
- 다른 항들은 \(a^3 b^1, a^2 b^2, a^1 b^3\), 그리고 \(a^0 b^4\)가 있습니다.
- 따라서, 5개의 서로 다른 항이 만들어집니다.
한편, 각 항들에 곱해지는 계수는 얼마일까요?
이항식 \((a + b)\)는 모두 계수가 1이므로, 서로 다른 5개의 항의 계수는 동류항의 개수가 해당 항의 계수가 됩니다. 예를 들어, \(a^3b^1\)은 동류항은 4개가 발생합니다. 왜냐하면, 전체 선택 횟수 4번 중에 \(a\)를 3번 선택하고 남아 있는 1번은 \(b\)를 선택하기 때문입니다. 그러므로, \(C(4,3)\)의 조합으로 생각할 수 있습니다. 나머지 항들도 값은 논리를 적용하면 다음과 같이 전개식을 완성할 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle {4 \choose 4}a^4 b^0 + {4 \choose 3}a^{3}b^1 + {4 \choose 2}a^{2}b^2 + {4 \choose 1}a^1 b^{3} + {4 \choose 0}a^0 b^4\)
이 형태는 \(a\)에 선택 횟수를 부여하고, 나머지에 \(b\)를 선택하는 논리로 표현한 것입니다. 반면에 \(b\)에 선택 횟수를 부여하고, 나머지에 \(a\)를 선택하는 논리로 표현한 식은 다음과 같습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle {4 \choose 0}a^4 b^0 + {4 \choose 1}a^{3}b^1 + {4 \choose 2}a^{2}b^2 + {4 \choose 3}a^1 b^{3} + {4 \choose 4}a^0 b^4\)
물론, 위의 두 식은 조합의 성질 \(C(n,k)=C(n,n-k)\)에 따라 서로 같습니다.
한편, 다른 방법으로 이 계수를 구하는 방법이 있습니다. 예를 들어, \(a^3b^1\)의 계수는 \(a, b\)를 각각 3개, 1개를 줄 세우는 것과 같습니다. 따라서 \(\displaystyle \frac{4!}{3!}\)으로 구할 수도 있습니다. 즉,
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{4!}{4!0!}a^4b^0+\frac{4!}{3!1!}a^3b^1+\frac{4!}{2!2!}a^2b^2+\frac{4!}{1!3!}a^1b^3+\frac{4!}{0!4!}a^0b^4\).
물론, 위의 3개의 식은 완전히 동일합니다.
이제, 이것을 확대해서, 자연수 \(n\)에 대해, \((a+b)^n\)에 대한 전개식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle (a+b)^n={n \choose 0}a^nb^0+{n \choose 1}a^{n-1}b^1+\cdots+{n \choose k}a^{n-k}b^k+\cdots+{n \choose n-1}a^1b^{n-1}+{n \choose n}a^0b^n\)
이를 이항정리라고 하고, 각 항의 계수
\(\quad\)\(\displaystyle {n \choose 0}, {n \choose 1}, {n \choose 2}, \cdots, {n \choose k}, \cdots, {n \choose n-1}, {n \choose n}\)
을 이항계수라고 합니다. 또한, \(C(n,k)a^{n-k}b^k\)는 이항정리의 일반항이라고 합니다. 물론 이항정리의 일반항은 순열을 사용하여 \(\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!k!}a^{n-k}b^k\)로 쓸 수도 있습니다.
파스칼의 삼각형
파스칼의 삼각형은, 이항 계수를 조합을 이용해서 구하지 않고, 삼각형 형태로 배열해 둔 후에 눈으로 찾아서 사용할 목적으로 만들어졌습니다. 계수의 삼각형 행태의 배열에서, 파스칼의 규칙, 즉, n보다 크지 않은 자연수 k–1에 대해 \(C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)\)를 사용하여 나열합니다.
\(\quad \begin{array}{lc}
0: & 1 \\
1: & 1 \quad 1 \\
2: & 1 \quad 2 \quad 1 \\
3: & 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\
4: & 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\
5: & 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\
6: & 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\
7: & 1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 \\
\end{array}\)
주어진 행들 사이의 몇 가지 특성은 다음과 같습니다:
- 어떤 행의 원소의 합은 바로 직전 행에 있는 원소의 합의 두 배입니다. 예를 들어, (제일 위의 행) 행 0은 1의 값을 가지고, 행 1은 2의 값을 가지고, 행 2는 4의 값을 가집니다. 이것은 행에서 모든 항목이 다음 행에서 두 개의 항목: 하나는 왼쪽이고 다른 하나는 오른쪽을 생성하기 때문입니다. 따라서, 행 \(n\)의 원소의 합은 \(2^n\)입니다.
- 만약 각 엔트리가 십진 자릿수로 여겨지면 (그리고 9보다 큰 숫자는 적절히 올림수로 여겨지면), 행의 값은 11의 거듭제곱입니다 (행 \(n\)에 대해, \(11^n\)). 따라서, 행 2에서, \(⟨1, 2, 1⟩\)은 \(11^2\)이 되고, 반면에, 행 5에서, \(⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩\)은 (올림수가 발생 후에) 161,051이 되며, 이것은 \(11^5\)입니다. 이 속성은 \((x + 1)^n\)의 이항 전개에서 \(x = 10\)으로 설정하고, 십진 시스템으로 값을 조정하여 설명됩니다. 그러나 \(x\)는 행을 임의의 밑수(any base)에서 표현하기 위해 선택될 수 있습니다.
- 밑수 3에서: \(1 2 1_3 = 4^2 (16)\)
- \(⟨1, 3, 3, 1⟩ \to 2 1 0 1_3 = 4^3 (64)\)
- 밑수 9에서: \(1 2 1_9 = 10^2 (100)\)
- \(\quad \quad \quad\;\;\)\(1 3 3 1_9 = 10^3 (1000)\)
- \(⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ \to 1 6 2 1 5 1_9 = 10^5 (100000)\)
- 행 \(n\)의 원소의 제곱의 합은 행 \(2n\)의 중간 원소와 같습니다. 예를 들어, \(1^2+4^2+6^2+4^2+1^2 = 70\). 일반적인 형식에서:
\(\quad\)\(\displaystyle \sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}\). - \(n \ge 0\), 행 \(2^n-1\)에서 모든 각 엔트리는 홀수입니다.
- 극성: 파스칼의 삼각형의 행의 원소가, 중간 숫자를 갖는 모든 각 행, 즉 홀수의 정수를 가진 행은, 중간 숫자로부터 연속적으로 함께 빼고 더한 것은 결과로 0을 제공합니다. 예를 들어, 행 4는 \(1 4 6 4 1\)이므로, 수식은 \(6 – (4+4) + (1+1) = 0\)이 되고; 그리고 행 6은 \(1 6 15 20 15 6 1\)이므로, 수식은 \(20 – (15+15) + (6+6) – (1+1) = 0\)이 될 것입니다. 그래서 파스칼 삼각형의 모든 각 짝수 행은, 중간 숫자를 취하고, 그런 다음 중심의 바로 옆에 있는 두 정수를 뺀 다음, 다음 두 정수를 더한 다음, 빼기 등을 수행하여 행의 끝에 도달할 때까지 반복했을 때, 0과 같아집니다.
이항 계수의 성질
이항 정리
\(\quad\)\(\displaystyle (a+b)^n={n \choose 0}a^nb^0+{n \choose 1}a^{n-1}b^1+\cdots+{n \choose n-1}a^1b^{n-1}+{n \choose n}a^0b^n\)
에서 \(a=1, b=x\)로 대체하면, 다음 식을 얻습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle (1+x)^n={n \choose 0}+{n \choose 1}x+{n \choose 2}x^2+{n \choose 3}x^3+\cdots+{n \choose n}x^n\cdots\)(가).
이 식은 항등식이기 때문에, \(x\)에 어떤 값을 대입해도 성립합니다.
먼저 \(x=1\)을 대입하면,
\(\quad\)\(\displaystyle 2^n={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}+\cdots+{n \choose n}\)
다음으로 \(x=-1\)을 대입하면,
\(\quad\)\(\displaystyle 0={n \choose 0}-{n \choose 1}+{n \choose 2}-{n \choose 3}+\cdots+(-1)^n {n \choose n}\).
이 식은 선택되는 개수가 짝수이면 양의 부호, 홀수이면 음의 부호를 가집니다. 음의 부호를 가지는 항들을 왼쪽 변으로 옮기면,
\(\quad\)\(\displaystyle {n \choose 1}+{n \choose 3}+{n \choose 5}+\cdots={n \choose 0}+{n \choose 2}+{n \choose 4}+\cdots=\frac{2^n}{2}=2^{n-1}\).
즉, 선택 횟수가 홀수인 것과 짝수인 것이 서로 같으므로, 각각, 전체의 절반의 값을 가집니다.
또 다른 항등식은 하키-스틱 항등식(Hockey-stick_identity)으로 알려진 것입니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \sum^n_{i=r}{i\choose r}={n+1\choose r+1} \qquad \text{ for } n,r\in\mathbb{N}, \quad n>r\)
예를 들어,
\(\quad\)\(\displaystyle {2 \choose 2}+{3 \choose 2}+{4 \choose 2}+{5 \choose 2}={6 \choose 3}\).
이것을 위의 그림에서 강조표시하면, 하키-스틱이나 크리스마스-스타킹처럼 보이기 때문에, 그런 이름을 가집니다. 또한, 이 식을 파스칼의 항등식을 사용하여, 다음과 같이 바꾸어서 생각하기도 합니다.
\(\quad\)\(\displaystyle {2 \choose 0}+{3 \choose 1}+{4 \choose 2}+{5 \choose 3}={6 \choose 3}\).
이것도 강조표시하면, 하키-스틱이나 크리스마스-스타킹처럼 보입니다.
보통 하키-스틱 항등식이 잘 다루어지지 않는 이유는 위의 예제를 식
\(\quad\)\(\displaystyle {3 \choose 0}+{3 \choose 1}+{4 \choose 2}+{5 \choose 3}\)
으로 바꾸어 앞에서부터 2개씩 파스칼의 규칙을 적용하면 같은 결과를 얻기 때문입니다. 보통 학교 수업에서는 이 방법을 이용해서 답을 구할 수 있기 때문에 특별히 하키-스틱 항등식을 강조할 필요는 없다고 보입니다. 반면에 하키-스틱 항등식 자체는 파스칼의 규칙을 한번 적용한 후에 첫 번째 항을 파스칼의 규칙을 적용할 수 있도록 바꾸어야 하기 때문에 약간의 혼란을 초래할 수 있습니다. 어쨌든, 파스칼의 삼각형에서 하키-스틱 항등식이 어떻게 동작하는지는 확인해 줄 필요는 있습니다.
다른 것은 (가) 식의 양변을 \(x\)에 관해 미분하고 \(x=1\)을 대입한 식입니다.
\(\quad\)\(\displaystyle n2^{n-1}={n \choose 1}+2{n \choose 2}+3{n \choose 3}+\cdots+n{n \choose n}\cdots\)(나)
(가) 식의 양변을 \(x\)에 관해 두 번 미분하고 \(x=1\)을 대입하면, 다음 식이 제공됩니다:
\(\quad\)\(\displaystyle n(n-1)2^{n-2}=2{n \choose 2}+3\cdot 2{n \choose 3}+4\cdot3{n \choose 4}+\cdots+n(n-1){n \choose n}\cdots\)(다)
어쨌든, 이 식을 바로 사용하지 않고, (나) 식을 다음과 같이 바꿉니다.
\(\quad\)\(\displaystyle 2n2^{n-2}={n \choose 1}+2{n \choose 2}+3{n \choose 3}+\cdots+n{n \choose n}\cdots\)(라)
(다) 식과 (라)식을 더하면, 다음의 식을 제공합니다:
\(\quad\)\(\displaystyle n(n+1)2^{n-2}={n \choose 1}+2^2{n \choose 2}+3^2{n \choose 3}+\cdots+n^2{n \choose n}\)
또한, 위의 파스칼의 삼각형에서 소개한 식
\(\quad\)\(\displaystyle \sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}\)
은 다음 식
\(\quad\)\(\displaystyle (1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n\)
을 전개했을 때, 양변의 \(x^n\)의 계수를 비교해서 나오는 식입니다, 즉,
\(\quad\)\(\displaystyle {2n \choose n}={n \choose 0}{n \choose n}+{n \choose 1}{n \choose n-1}+{n \choose 2}{n \choose n-2}+\cdots+{n \choose n}{n \choose 0}\)
의 식에서 파스칼의 규칙, \(C(n,k)=C(n,n-k)\)를 적용해서 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle {2n \choose n}={n \choose 0}{n \choose 0}+{n \choose 1}{n \choose 1}+{n \choose 2}{n \choose 2}+\cdots+{n \choose n}{n \choose n}\)
따라서,
\(\quad\)\(\displaystyle {2n \choose n}={n \choose 0}^2+{n \choose 1}^2+{n \choose 2}^2+\cdots+{n \choose n}^2\)
이것 외에 소개할 만 것은 허수단위 \(x=i\)를 대입하는 경우입니다. 이때 공통적으로 사용되는 식은 다음과 같습니다.
\(\quad\)\((1+i)^2=1+2i+i^2=2i\)
예를 들어,
\(\quad\)\(\displaystyle (1+i)^{10}={10 \choose 0}+{10 \choose 1}i+{10 \choose 2}i^2+{10 \choose 3}i^3+\cdots+{10 \choose 10}i^{10}\).
이 식에서, 왼쪽 변을 \((2i)^5\)으로 만들고, 복소수의 상등을 적용하면 다음과 같습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle 0={10 \choose 0}-{10 \choose 2}+{10 \choose 4}-{10 \choose 6}+{10 \choose 8}-{10 \choose 10}\)
\(\quad\)\(\displaystyle 32={10 \choose 1}-{10 \choose 3}+{10 \choose 5}-{10 \choose 7}+{10 \choose 9}\)
만약 홀수일 때에는
\(\quad\)\(\displaystyle (1+i)^{11}={11 \choose 0}+{11 \choose 1}i+{11 \choose 2}i^2+{11 \choose 3}i^3+\cdots+{11 \choose 11}i^{11}\).
이 식에서, 왼쪽 변을 \((2i)^5(1+i)\)으로 만들고, 복소수의 상등을 적용하면 다음과 같습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle -32={11 \choose 0}-{11 \choose 2}+{11 \choose 4}-{11 \choose 6}+{11 \choose 8}-{11 \choose 10}\)
\(\quad\)\(\displaystyle 32={11 \choose 1}-{11 \choose 3}+{11 \choose 5}-{11 \choose 7}+{11 \choose 9}-{11 \choose 11}\)
응용예제
응용예제1
등식 \(_8C_1 + 4\cdot _8C_2 + 9\cdot _8C_3 + \cdots + 64\cdot _8C_8 = m\cdot 2^n\)을 만족시키는 \(m,n\)의 값을 각각 구하시오. (단, \(m\)은 홀수, \(n\)은 정수)
