우리는 이미 수열 단원에서 등차수열, 조화수열, 등비수열에 대한 일반 항과 합에 대해 알아보았습니다. 특히 합의 표현은 초항부터 시작해서 원하는 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)으로 나타내었습니다. 이 표현에서, 인덱스는 자연수로 이루어지다 보니, 시작이 1로 정해져 있으며, 끝점의 함수로 생각될 수 있습니다. 즉, 끝점이 \(m\)으로 정해지면, 1항부터 \(m\)항까지의 합, \(S_m\)으로 나타냅니다. 그리고 만약 3항부터 \(n\)항까지의 합을 구하고 싶을 때에는, \(S_n-S_2\)와 같이 표현할 수 있습니다. 이런 제약 사항을 극복하는, 보다 일반적인 형태로 수열의 합에 대한 표현을 알아보겠습니다.
일반적인 수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)을 다음과 같이 나타냅니다.
\(\quad\)\(S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)
이것을 합을 나타내는 기호 시그마(\(\sum\))로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^n a_k\)
기호 시그마는 다음과 같이 쓰여집니다.
- 아래쪽: 인덱스 문자와 시작 위치
- 위쪽: 끝나는 위치
- 오른쪽: 인덱스를 표시한 수열
수열의 합에서 사용된, S는 끝나는 지점만 정할 수 있는 것에 반해서, 시그마는 시작 위치도 마찬가지로 정할 수 있습니다. 또한, 인덱스로 사용되는 문자가 반드시 수열의 인덱스에 포함됩니다. 이것은 매우 중요한 것으로, 인덱스에 사용되지 않은 문자가 수열에 있을 때에는 상수로 취급됩니다.
시그마의 기본 성질
시그마는 합을 나타내는 기호이므로 덧셈(뺄셈)과 관련된 속성을 가질 것이라는 것을 유추해 볼 수 있습니다. 시그마는 다음 성질이 있습니다.
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)=\sum_{k=1}^n a_k +\sum_{k=1}^n b_k\)
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(a_k-b_k\right)=\sum_{k=1}^n a_k -\sum_{k=1}^n b_k\)
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^n c a_k =c \sum_{k=1}^n a_k\), (여기서 \(c\)는 상수)
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^n c =c n\), (여기서 \(c\)는 상수)
증명
위 식에 따라 식을 전개한 후에, 같은 문자끼리 모으고, 다시 해당 문자의 합을 시그마 기호를 이용해서 적어주면 끝납니다.
응용예제
응용예제1
자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\)을 3으로 나눈 나머지를 \(a_n\)이라고 할 때, \(\displaystyle \sum_{n=1}^{2020} a_n\)의 값을 구하여라.
응용예제2
자연수 \(n\)의 일의 자리 수를 \(f(n)\)이라 하고, \(a_n=f\left(n^2\right)-f(n)\)이라고 놓습니다. 이때, 다음 각각을 구하시오.
\(\quad\)(ㄱ) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{10}a_n,\;\sum_{n=1}^{98}\)의 값을 구하시오.
\(\quad\)(ㄴ) \(a_n=0\)이 되는 자연수 \(n\)을 작은 것부터 크기 순으로 나열한 수열을 \(b_n\)이라고 할 때, 예를 들어 \(b_1=1,\;b_2=5,\cdots\), \(b_{50}\)을 구하시오.
응용예제3
다음 수열의 첫째 항부터 제 \(n\)항까지의 합 \(\mathrm{S}_n\)을 구하여라.
\(\quad\)\(1^3-2^3+3^3-4^3+5^3-6^3+\cdots\)
응용예제4
\(x_i \in \{0,1,2\}\)이고 \(\displaystyle \sum^n_{i=1}x_i=16\), \(\displaystyle \sum^n_{i=1}x_i^2=26\)일 때, \(\displaystyle \sum^n_{i=1}x_i^4\)의 값을 구하시오.
응용예제5
실수 \(\sqrt{m}\)의 정수 부분이 \(n\)이 되는 자연수 \(m\)의 개수를 \(a_n\)이라 할 때, 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 옳은 것을 있는 대로 고르시오.
\(\quad\)(ㄱ) \(a_2=4\)
\(\quad\)(ㄴ) \(a_{n+1}-a_n=\)(일정)
\(\quad\)(ㄷ) \(\displaystyle \sum^{20}_{k=1}a_k=440\)
응용예제6
이차함수
\(\quad\)\(\displaystyle f(x)=\sum^{100}_{k=1}\left(x-\frac{1}{k(k+1)}\right)^2\)
이 최솟값을 가질 때의 \(x\)의 값을 구하시오.
응용예제7
모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식
\(\quad\)\(\displaystyle 0<\frac{1}{2}-\sum^{n}_{k=1}\frac{a_k}{5^k} < \frac{1}{5^n}\)
이 성립하도록 자연수 \(a_1,\;a_2\;a_3,\;\cdots\)을 차례대로 정할 때, \(a_{2019}+a_{2020}+a_{2021}\)의 값을 구하시오.
응용예제8
\(\displaystyle A_n=\sum^{n}_{k=1}(k\times k!)\), \(\displaystyle B_n=\sum^{n}_{k=1} \frac{k}{(k+1)!}\)일 때, 등식 \(\displaystyle \frac{A_{100}}{B_{100}}=m!\)을 만족시키는 자연수 \(m\)의 값을 구하시오. (단, \(n!=n\times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1\))
응용예제9
수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
\(\quad\)(ㄱ) \(\{a_n\}\)은 자연수이다.
\(\quad\)(ㄴ) \(\displaystyle \left|a_n -\sqrt{n}\right| < \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \sum^{90}_{n=1}a_n\)의 값을 구하시오.
응용예제10
수열 \(\{a_n\}\)의 제 \(n\)항 \(a_n\)을 \(\displaystyle \frac{n}{3^k}\)이 자연수가 되게 하는 음이 아닌 정수 \(k\)의 최댓값이라 하자. 예를 들어, \(a_1=0\)이고 \(a_6=1\)이다. \(a_m=3\)일 때,
\(\quad\)\(a_m + a_{2m} + a_{3m} + \cdots + a_{9m}\)
의 값을 구하시오. (단, \(3^0=1\))
응용예제11
1보다 큰 자연수 \(n\)으로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같은 자연수를 모두 더한 값을 \(a_n\)이라고 하자. 이때, \(a_n>500\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하여라.
응용예제12
첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수인 등차수열 \(\{a_n\}\)과 첫째항이 자연수이고 공비가 음의 정수인 등비수열 \(\{b_n\}\)이 다음 조건을 만족시킬 때, \(a_7+b_7\)의 값을 구하시오. [4점] [2019학년도 수능 나형 29번]
\(\quad\)(ㄱ) \(\displaystyle \sum_{n=1}^5 \left(a_n+b_n\right) = 27\)
\(\quad\)(ㄴ) \(\displaystyle \sum_{n=1}^5 \left(a_n+\left|b_n\right|\right) = 67\)
\(\quad\)(ㄷ) \(\displaystyle \sum_{n=1}^5 \left(\left|a_n\right|+\left|b_n\right|\right) = 81\)
