이런 의문이 들 수 있습니다. 왜 항상 1을 시작 인덱스로 선택하나요?
그 이유는 간단합니다. 방정식을 풀기 위해, 인수분해를 할 때에도 경험적으로 많이 사용해 온 것들을 공식화(항등식)해서 사용합니다. 합계에 대한 특별한 일부 수열들에 대한 공식(항등식)을 만들어 두고 필요할 때마다 적용해서 쉽게 값을 구하고 싶기 때문입니다. 합계 항등식(Summation identities)에서 많은 항등식이 제공되지만, 고등학교 교과 과정에서 소개되는 몇 가지를 알아보겠습니다.
자연수의 거듭제곱의 합
- \(\displaystyle \sum_{i=1}^n c = nc\quad\) 모든 각 상수 \(c\)에 대해
- \(\displaystyle \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\qquad\) (처음 자연수 \(n\)개로 구성되는, 가장 간단한 산술 수열(arithmetic progression:등차 수열)의 합.)
- \(\displaystyle \sum_{i=1}^n \left(2i-1\right) = n^2\qquad\) (처음 홀수 자연수 \(n\)개의 합)
- \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n} 2i = n(n+1)\qquad\) (처음 짝수 자연수 \(n\)개의 합)
- \(\displaystyle \sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}\qquad\) (처음 제곱수의 합)
- \(\displaystyle \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i \right)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4}\qquad\) (처음 세제곱수의 합)
분수꼴 수열의 합
시그마는 합을 나타내므로, 연산 덧셈으로 이루어집니다. 그렇기 때문에 공식에 없는 것들을 합하는 것은 대부분 쉬운 계산이 없습니다. 그러나, 합으로만 이루어진 모양에서, 하나의 항을 두 개 이상의 항으로 분리해서 계산을 쉽게 처리하는 일부 경우가 있습니다. 주목할 것은 분리된 항들 사이의 연산이 대부분 뺄셈으로 이루어지고, 규칙적으로 중간이 삭제되어, 쉬운 계산을 할 수 있다는 점입니다.
이것에 대한 자세한 내용은 부분분수를 참조하십시오.
멱급수
우리는 한자를 잘 모르기 때문에, 앞으로는 멱급수를 거듭제곱 급수(power series)라고 부를 것입니다. 게다가, 현재는 고등학교 교과 과정에서 빠진 부분이지만, 거듭제곱 급수의 특수한 경우인, 산술 수열(등차 수열)과 기하 수열(등비 수열)의 곱의 모양인 산술-기하 수열을 다룹니다. 실제 연습에서는 꽤 고통스러워하는 과정이므로, 전체 공식을 암기해 버려도 좋겠습니다.
분수꼴 수열의 합
이제, 수열의 모양이 그냥 두어서는 계산이 불가능한 것을, 그 형태를 바꿈으로써 계산이 가능하도록 하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 여기서의 아이디어는, 시그마는 항들을 덧셈 연산으로 이루어지는 것입니다. 그러므로 하나의 항을 분리해서 둘 이상의 항으로 분리할 때, 연산 뺄셈으로 이루어지도록 바꿉니다.
