직선은 기울기가 영이면, \(x\)-좌표의 변화에 상관없이 \(y\)-좌표가 일정합니다.
다음으로, 기울기가 양수이면, \(x\)-좌표가 증가하면, \(y\)-좌표가 증가합니다. 이것을 식으로 나타내면,
\(\quad\)\(x_1 < x_2\)일 때, \(y_1 < y_2\)
마지막으로, 기울기가 음수이면, \(x\)-좌표가 증가하면, \(y\)-좌표가 감소합니다. 이것을 식으로 나타내면,
\(\quad\)\(x_1 < x_2\)일 때, \(y_1 > y_2\)
이 용어는 직선이 아닌 이차함수, 유리함수, 등의 곡선에서도 여전히 유효합니다. 그러나, 이차함수는 항상 증가하거나, 항상 감소하지는 않기 때문에, 증가와 감소는 주어진 구간이 결정되어야 확인할 수 있습니다.
증가와 감소
일반적으로 함수 \(y=f(x)\)가 주어진 구간의 임의의 두 수 \(x_1, x_2\)에 대하여
\(\quad\)\(x_1 < x_2\)일 때, \(f(x_1) < f(x_2)\)
이면, 주어진 구간에서 (엄격하게) 증가한다고 말합니다. 또는 반대로
\(\quad\)\(x_1 < x_2\)일 때, \(f(x_1) > f(x_2)\)
이면, 주어진 구간에서 (엄격하게) 감소한다고 말합니다.
증가상태와 감소상태
증가와 감소는 주어진 구간에 대한 함수의 변화를 나타냅니다. 반면에, 한 점에 대해서는 증가상태와 감소상태의 용어를 사용합니다.
일반적으로 함수 \(f(x)\)에서 충분히 작은 임의의 양수 \(h\)에 대하여
\(\quad\)\(f(a-h) < f(a) < f(a+h)\)
일 때, 함수 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 증가상태에 있다고 말합니다. 반대로
\(\quad\)\(f(a-h) > f(a) > f(a+h)\)
일 때, 함수 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 감소상태에 있다고 말합니다.
도함수를 통한 증가상태와 감소상태
함수 \(y=f(x)\)의 \(x=a\)에서의 도함수는
\(\quad\)\(\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
이므로, 충분히 작은 \(h\)에 대하여
첫 번째, 만약, \(f'(a)>0\)이면
- 오른쪽 도함수: \(\displaystyle \lim_{h_1 \to 0+}\frac{f(a+h_1)-f(a)}{h_1} > 0\)
- \(h_1>0\)이므로, \(f(a+h_1)>f(a)\)입니다.
- 왼쪽 도함수: \(\displaystyle \lim_{h_2 \to 0-}\frac{f(a+h_2)-f(a)}{h_2} > 0\)
- \(h_2<0\)이므로, \(f(a+h_2)<f(a)\)입니다.
- 여기서 \(h_2=-h_1\)으로 두면
- \(f(a-h_1)<f(a)<f(a+h_1)\)
- 을 만족하므로, \(x=a\)에서 증가상태에 있다고 말할 수 있습니다.
두 번째, 만약, \(f'(a) < 0\)이면
- 오른쪽 도함수: \(\displaystyle \lim_{h_1 \to 0+}\frac{f(a+h_1)-f(a)}{h_1} < 0\)
- \(h_1>0\)이므로, \(f(a+h_1)<f(a)\)입니다.
- 왼쪽 도함수: \(\displaystyle \lim_{h_2 \to 0-}\frac{f(a+h_2)-f(a)}{h_2} < 0\)
- \(h_2<0\)이므로, \(f(a+h_2)>f(a)\)입니다.
- 여기서 \(h_2=-h_1\)으로 두면
- \(f(a-h_1)>f(a)>f(a+h_1)\)
- 을 만족하므로, \(x=a\)에서 감소상태에 있다고 말할 수 있습니다.
도함수를 통한 함수의 증가와 감소
함수 \(y=f(x)\)의 도함수 \(y=f'(x)\)가 주어진 구간에서 비-음수이면, \(f(x)\)는 주어진 구간의 임의의 점에서 증가상태에 있으므로, 함수 \(y=f(x)\)는 주어진 구간에서 증가합니다.
마찬가지로 도함수 \(y=f'(x)\)가 주어진 구간에서 비-양수이면, \(f(x)\)는 주어진 구간의 임의의 점에서 감소상태에 있으므로, 함수 \(y=f(x)\)는 주어진 구간에서 감소합니다.
일반적으로 함수 \(y=f(x)\)가 주어진 구간에서 미분가능하고, 그 구간에서
- \(f'(x) \ge 0\)이면 \(f(x)\)는 주어진 구간에서 증가합니다.
- \(f'(x) \le 0\)이면 \(f(x)\)는 주어진 구간에서 감소합니다.
여기서 주의할 점은 도함수가 영이 되는 점은 유한한 개수가 있어야 합니다. 만약 도함수가 영이 되는 점이 아니라 구간이 존재하면, 해당 구간에서 증가상태 또는 감소상태가 아닌, \(x\)-축과 나란한 직선 구간이 존재하기 때문에 함수의 증가 또는 감소를 말할 수 없습니다.
반대로 함수 \(y=f(x)\)가 주어진 구간에서 미분가능하고, 그 구간에서
- \(f(x)\)가 증가하면 도함수 \(f'(x) \ge 0\)입니다.
- \(f(x)\)가 감소하면 도함수 \(f'(x) \le 0\)입니다.
