초월함수의 그래프의 개형은 해당 단원에서 다루어지는데, 주로 미적분2에서 다루어집니다. 여기서는 다항함수에 대해, 주어진 구간에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해 알아보고자 합니다.
이차함수는 선행 계수의 부호에 따라, 최댓값 또는 최솟값을 가집니다. 반면에 삼차함수는 선행 계수의 부호에 상관없이 최댓값과 최솟값을 가지지 않습니다. 따라서, 삼차함수의 최댓값과 최솟값이 존재하기 위해서는 정의역의 제한이 필요합니다.
한편 사차함수는 선행 계수의 부호에 따라, 최댓값 또는 최솟값을 가집니다.
어쨌든, 주어진 구간에서 최댓값과 최솟값을 구하기 위해서, 그래프의 개형을 이용하는 것이 계산의 편의를 가져올 수 있습니다.
다항함수의 그래프의 개형에서, 결국 도함수의 근의 형태에 따라 그의 개형이 결정됩니다. 따라서, 도함수의 근을 구하는 것이 그래프를 그리는 출발점입니다.
또한, 최댓값과 최솟값을 구하는 문제는, 그래프의 개형을 그린 후에, 이차함수의 최대 최소에서와 동일한 방법으로 구할 수 있습니다.
다항함수의 최댓값과 최솟값
종이와 연필을 사용해서, 삼차 이상의 다항함수의 그래프를 보다 정확히 그리는 것은 쉬운 일이 아닐 수 있습니다. 그렇기 때문에, 주어진 시간에서 문제의 답을 찾기 위해서, 즉시 그릴 수 있는 그래프의 개형과 실수가 발생할 수 있는 부분을 제거하는 과정이 필요합니다.
- 선행 계수의 부호를 확인합니다.
- 미분해서 도함수의 실근을 구합니다.
- 그래프의 개형을 그립니다. 이때, 극점과 끝점을 표시하는데, 끝점이 구간에 포함 여부를 표현해야 합니다.
- 구간의 끝점에 대한 함숫값을 구합니다.
- 만약 존재한다면, 극댓값과 극솟값을 구합니다.
- 끝점의 함숫값과 극값을 비교해서 최댓값과 최솟값을 구합니다.
이때, 주어진 구간이 열린 구간일 때에 최댓값과 최솟값이 끝점일 때에는 최댓값과 최솟값이 될 수 없습니다. 이것은 이차함수의 최대 최소에서와 동일합니다.
예를 들어, 구간 [–2, 4]에서 함수 \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+2\)의 최댓값과 최솟값을 구해 보겠습니다.
먼저, 선행 계수, 2는 양수이므로, 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가는 그래프입니다.
다음으로, 함수를 미분해서, 도함수의 근을 구하면,
\(\quad\)\(f'(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)=0\)
\(\quad\)\(x=-1\;\mbox{or}\;x=2\)
다음으로, 개형을 그려서, 극점과 끝점을 표시합니다. 이때, 너무 자세히 그릴 필요는 없는데, 예를 들어, x-좌표의 순서만 정확히 그리고, 간격을 꼭 비례적으로 그릴 필요는 없습니다. 어차피 구간에 포함되는지 여부가 중요하기 때문입니다. 그리고, 최댓값괴 최솟값은 숫자로 대소 비교를 나중에 진행할 것입니다. 열린 구간일 때에, 끝점에 조그만 동그라미를 그려서 끝점이 포함되지 않는 것을 표시하는데, 이차함수에서와 동일한 방법입니다.
또한, \(y\)-축은 별도로 그릴 필요가 없고, \(x\)-축은 보기 좋은 곳에 그립니다. 그림처럼, 그래프와 겹치지 않도록 그리는 것이 좋겠습니다.
다음으로, 끝점의 함숫값을 구합니다.
\(\quad\)\(f(-2)=-2,\;f(4)=34\)
다음으로, 구간 안에 포함되는 극값을 구합니다.
\(\quad\)\(f(-1)=9,\;f(2)=-18\)
마지막으로, 위의 전체 4 숫자 중에 최댓값을 찾아도 좋겠지만, 나중에 문자를 다룰 경우를 고려해서, 이 경우에서, 극댓값과 오른쪽 끝점을 비교해서 최댓값이 나옴을 알 수 있습니다. 그림에서는 x = 4에서 최댓값을 가지는 것처럼 보이지만, 개형이기 때문에 반드시 숫자를 구해서 비교해야 합니다. 마찬가지로 최솟값을 구할 때에도 개형임을 기억해야 합니다.
반면에, 최솟값은 극솟값과 왼쪽 끝점 중에 존재합니다.
따라서, 최댓값은 34이고, 최솟값은 –18입니다.
