항등식에서 항등식을 나타내는 여러 가지 표현을 알아보았습니다. 직선의 방정식에서 이와 같은 표현이 주어졌을 때에는 계수(기울기나 절편)가 변하더라도 직선이 항상 지나는 점을 가지고 있는 경우가 있습니다. 이를 정점이라고 합니다.
정점 구하기
직선 \(y=mx-4m+3\)은 \(m\)의 값에 관계없이 항상 지나는 점을 구하시오.
해설) \(m\)에 대한 항등식이므로 수치대입법이나 계수비교법을 이용할 수 있습니다. 여기서는 보통 계수비교법을 많이 이용합니다.
\(\quad\)\(y=m(x-4)+3\)
좌변에 \(m\)의 1차항이 없으므로 우변의 \(m\)의 일차항도 없어져야 하기 때문에, \(x=4\)입니다.
좌변의 상수항과 우변의 상수항이 같아야 하기 때문에, \(y=3\)입니다.
그러므로 \((4,3)\)의 점을 항상 지납니다.
수치대입법) \(m=0\)을 대입하면, \(y=3\)입니다. \(m=1\)을 대입하면 \(x=4\)입니다.
응용예제
응용예제1
두 직선 \(2x+y-4=0\)과 \(mx-y-3m+1=0\)이 제1사분면에서 만날 때, 상수 \(m\)의 값의 범위를 구하여라.
응용예제2
직선 \(y=kx-5k+4\)이 세 점 \(A(1,3)\), \(B(4,-1)\), \(C(-1,-2)\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(ABC\)와 만나지 않도록 하는 모든 정수 \(k\)의 합은?
응용예제3
점 \((-2,1)\)과 직선 \((2a-1)x+(a+3)y+3a+2=0\) 사이의 거리를 \(f(a)\)라 할 때, \(f(a)\)의 최댓값을 구하면?
응용예제4
일차방정식 \((x-y+2)+k(2x+y-1)=0\)이 나타내는 직선은 실수 \(k\)에 값에 관계없이 항상 일정한 점을 지납니다. 그중 한 직선이 원점과의 거리가 최대가 될 때, \(k\)의 값은?
응용예제5
두 점 \(\mathrm{A}(-3,0)\), \(\mathrm{B}(1,4)\)에 대하여 직선 \(\mathrm{AB}\) 위의 점 중에서 직선 \((k+1)x+(k-1)y-2k=0\)이 지날 수 없는 점의 좌표를 \((a,b)\)라 할 때, 두 실수 \(a,b\)의 곱 \(ab\)의 값은?
