두 도형의 위치 관계에서, 이차함수, 유리함수, 제곱근 함수, 또는 원의 접선의 방정식에서, 기하학적 및 이차방정식의 중근으로 접선의 기울기를 구했습니다.
또한, 접선은 직선이므로, 지나는 점과 기울기를 구함으로써, 그의 방정식을 완성할 수 있습니다.
이때, 접선의 기울기는, 도함수를 배운 후로는 위의 방법을 이용하는 것보다, 접점 \((a,f(a))\)를 도함수에 대입한 값, \(f'(a)\)로 구하는 것이 더 편합니다.
따라서, 도함수를 구하고, 접점의 좌표를 알아내는 것이 도함수를 배운 후의 접선의 방정식을 구할 때 주로 하는 작업입니다.
접점이 주어진 경우
먼저, 가장 손쉽게 접선의 방정식을 구할 수 있는 경우가 접점이 주어지는 경우입니다. 예를 들어, 함수 \(f(x)=x^2\) 위의 점 \((2,4)\)에서의 접선의 방정식을 구해보고자 합니다.
먼저, 도함수 \(f'(x)=2x\)로부터 접선의 기울기는 \(f'(2)=4\)이고, 따라서 접선의 방정식은
\(\quad\)\(y-4=4(x-2)\)
이를 일반화하면 다음과 같습니다.
함수 \(y=f(x)\) 위의 점 \((a,f(a))\)에서의 접선의 방정식은
\(\quad\)\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)
한편, 곡선 위의 점에서 접선을 그렸을 때, 같은 점, 즉 접점을 지나면서 접선에 수직인 직선을 법선이라고 합니다.
따라서 함수 \(y=f(x)\) 위의 점 \((a,f(a))\)에서의 법선의 방정식은
\(\quad\)\(\displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)\;\) (단, \(f'(a) \neq 0\))
\(f'(a)=0\)인 경우에서, 법선의 방정식은 접선의 기울기가 0, 즉, \(x\)축과 나란하므로, 법선은 접점을 지나면서, \(y\)-축과 나란합니다. 따라서, \(y=f(a)\)가 구하려는 법선의 방정식입니다.
접점이 주어진 경우의 접선 또는 법선은 고등학교 교과과정에서는 오직 1개만 그릴 수 있습니다.
기울기가 주어진 경우
기울기, \(m\)이 주어졌기 때문에, 지나는 점을 구함으로써 접선의 방정식을 완성할 수 있습니다.
이때, 접점을 \((a,f(a))\)로 두면, \(f'(a)=m\)으로 식을 세울 수 있으므로, 이 식을 풀어서, 접점을 구할 수 있습니다.
기울기가 주어진 경우의 접선의 방정식은 위의 \(a\)에 대한 방정식의 구별되는 근의 개수만큼 구할 수 있습니다.
곡선 밖의 한 점이 주어진 경우
함수 \(y=f(x)\) 위의 점이 아닌 \(\mathrm P(x_1,y_1)\)를 지나고, 함수의 접하는 직선의 방정식은 지나는 점이 주어져 있으므로, 기울기를 구해야 합니다.
이때, 식을 만드는 방법은 다음과 같습니다.
- 먼저 접점의 좌표를 \((a, f(a))\)로 두고,
- 접선의 방정식을 \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)로 놓으면,
- 곡선 밖의 점 \(\mathrm P\)를 접선이 지나므로, 그 방정식에 대입해서,
- \(y_1-f(a)=f'(a)(x_1-a)\)의 방정식을 풀어서 \(a\)를 구합니다.
- 각각 \(a\)를 접선의 방정식에 대입해서 식을 완성합니다.
조금 다른 형태로 식을 세워보면,
- 먼저 접점의 좌표를 \((a, f(a))\)로 두고,
- 접선이 곡선 밖의 점 \(\mathrm P\)와 접점을 지나므로, 두 점을 사용해서 구한 기울기와 도함수로 구한 기울기가 같아집니다 : \(\displaystyle \frac{f(a)-y_1}{a-x_1}=f'(a)\)
- 각각 \(a\)를 통해 기울기를 구하고 지나는 점은 접점 또는 곡선 밖의 점을 대입해서 접선의 방정식을 완성합니다.
크게 차이는 없지만, 보통 아래의 방법이 조금 계산이 적습니다.
공통 접선
두 곡선 \(y=f(x),\;y=g(x)\)가 점 \((a,b)\)에서 접할 때, 다음 정보를 이용해서 공통접선을 구할 수 있습니다.
- \(f(a)=b\)
- \(g(a)=b\)
- \(f'(a)=g'(b)\)
공통 접선에서 주의해야 할 부분은 두 곡선이 항상 공통 접점을 가지지는 않는다는 점입니다. 공통 접점을 갖지 않더라도, 공통 접선은 그릴 수 있습니다.
응용예제
응용예제1
선행계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다
\(\quad\)(가) 직선 \(y=2x+2\)는 이 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 점 \((2,6)\)에서 접한다.
\(\quad\)(나) \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-2x-2}{(x-2)\left\{f'(x)-x\right\}}=\frac{2}{5}\)
\(f(6)\)의 값은?