어떤 함수를 \(y=f(x)\)를 미분하면, 도함수 \(y'=f'(x)\)입니다. 이때, \(y=g(x)=f'(x)\)로 두면, \(y'=g'(x)\)는 \(y=g(x)\)의 도함수입니다.
또한, \(y=g(x)=f'(x)\)이므로, \(y'=g'(x)=\left\{f'(x)\right\}'\)으로써, \(y=f(x)\)에 대해 도함수의 도함수입니다. 정의식을 사용해서 적으면,
\(\quad\)\(\displaystyle f''(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\)
이처럼, 한번 미분한 결과의 함수를 다시 미분한 것을 최초의 함수의 이계(차) 도함수라고 하고, 다음과 같이 나타냅니다.
\(\quad\)\(\displaystyle y'',\; f''(x),\; \frac{d^2 y}{dx^2},\; \frac{d^2}{dx^2}f(x)\)
물론 이런 식으로, 미분이 가능하다면, 계속해서 미분을 할 수 있기 때문에, 일반적으로 \(n\)-계(차) 도함수를 정의할 수 있고, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{d^n y}{dx^n},\; \frac{d^n}{dx^n}f(x)\)
