(고등학교) 이계도함수

어떤 함수를 $y=f(x)$를 미분하면, 도함수 $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$입니다. 이때, $y=g(x)=f^{\prime }(x)$로 두면, $y^{\prime }=g^{\prime }(x)$는 $y=g(x)$의 도함수입니다. 

또한, $y=g(x)=f^{\prime }(x)$이므로, $y^{\prime }=g^{\prime }(x)={\{f^{\prime }(x)\}}^{\prime }$으로써, $y=f(x)$에 대해 도함수의 도함수입니다. 정의식을 사용해서 적으면,

$$${\displaystyle f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}}$

이처럼, 한번 미분한 결과의 함수를 다시 미분한 것을 최초의 함수의 이계(차) 도함수라고 하고, 다음과 같이 나타냅니다.

$$${\displaystyle y^{″},f^{″}(x),\frac{d^{2}y}{d{x}^2},\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)}$

물론 이런 식으로, 미분이 가능하다면, 계속해서 미분을 할 수 있기 때문에, 일반적으로 $n$-계(차) 도함수를 정의할 수 있고, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$${\displaystyle \frac{d^{n}y}{d{x}^n},\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)}$