(고등학교) 이계도함수와 극대·극소

이계도함수는 미적분2에서 다루는 초월함수의 그래프의 개형에서 중요한 역할을 합니다. 

미적분1의 함수의 증가와 감소에서, 함수 $f(x)$가 주어진 구간에서 미분가능하고, 그 구간에서

• $f^{\prime }(x)>0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 증가합니다.
• $f^{\prime }(x)<0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 감소합니다.

미적분1의 함수의 극대와 극소에서, 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속이고, $x=a$의 좌우에서

• $f(x)$가 증가상태에서 감소상태로 바뀔 때, $f(x)$는 $x=a$에서 극대이고, $f(a)$를 극댓값이라고 합니다.
• $f(x)$가 감소상태에서 증가상태로 바뀔 때, $f(x)$는 $x=a$에서 극소이고, $f(a)$를 극솟값이라고 합니다.

이것을 도함수를 통해서 표현하면, 주어진 구간에서 미분가능한 함수는 $f^{\prime }(a)=0$이고, 임의의 아주 작은 양의 $h$에 대해,

• $f^{\prime }(a-h)>0,f^{\prime }(a+h)<0$이면, $x=a$에서 극대입니다.
• $f^{\prime }(a-h)<0,f^{\prime }(a+h)>0$이면, $x=a$에서 극소입니다.

한편, 미적분1에서는 다항함수, 오직 삼차함수와 사차함수, 등을 다룸으로써, 위와 같이 도함수의 증감으로부터 극대, 극소를 판정하지 않고, 도함수의 근을 판정하고, 그런-다음 그래프의 개형을 그리고, 그런-다음 그래프로부터 극대와 극소를 판정합니다. 다항함수의 이런 특징은 더 높은 차수에서도 여전히 유지됩니다.

반면에, 초월함수를 다루는 미적분2는 초월함수와 다함함수의 곱셈 또는 나눗셈 등의 형태의 함수를 다룸으로써, 그래프의 개형을 그리기가 쉽지 않습니다. 따라서, 극대와 극소는 그래프의 개형이 아니라, 도함수의 증감표로부터 판정될 수 있습니다.

게다가, 미분가능한 함수에서, $x=1$에서 극대를 가진다는 의미는,

• $f^{\prime }(1-h)>0,f^{\prime }(1)=0,f^{\prime }(1+h)<0\cdots (1)$

이고, 이계 도함수는 도함수의 증감 상태로부터 구해지므로, 식 (1)은 도함수가 감소상태(양수$\to$0$\to$음수)에 있음을 알 수 있습니다. 

따라서, 극대에서의 이계도함수는 $f^{″}(1)<0$입니다.

반면에 극소에서는 도함수 $f^{\prime }(x)$는 증가상태(음수$\to$0$\to$양수)이므로, $f^{″}(x)>0$ 값을 가집니다.

정리하면, 이계도함수를 갖는 함수 $f(x)$에 대하여 $f^{\prime }(a)=0$일 때,

$f^{″}(a)<0$이면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대입니다.

$f^{″}(a)>0$이면 $f(x)$는 $x=a$에서 극소입니다.