미적분1의 부정적분에서, 다항함수의 부정적분에 대해 소개를 했습니다. 이제 새롭게 배운 초월함수의 부정적분에 대해 소개하고자 합니다.
이 기사에서 \(C\)는 적분상수를 나타내고, 그 문구를 명시적으로 표시하지 않은 경우가 있을 수 있습니다.
함수 \(y=x^n\) (\(n\)은 실수)의 부정적분
미적분1의 다항함수의 미분법은 \(y=x^n\) (\(n\)은 자연수)의 도함수를 소개했고, 몫의 미분법에서 \(n\)이 음의 정수일 때에도 같은 결과를 가짐을 보였습니다. 즉, 도함수
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{d}{dx} x^n= n x^{n-1}\)
에 대해, 역도함수(적분)를 구하면,
\(\quad\)\(\displaystyle \int \left\{\frac{d}{dx} x^n \right\} dx=\int n x^{n-1} dx\)
그러므로,
\(\quad\)\(\displaystyle \int n x^{n-1} dx = x^n + C\) (\(C\)는 적분상수)
이때, \(n\ne 0\)이면, 양쪽 변을 \(n\)으로 나누고, \(n-1=m\)을 대입하면,
\(\quad\)\(\displaystyle \int x^m dx = \frac{1}{m+1} x^{m+1} + C\)
여기서, 적분 상수는 나눗셈을 하지 않는 이유는 어차피 적분상수는 임의의 숫자이므로, 임의의 숫자를 나눈 값도 임의의 숫자이기 때문입니다.
한편, 만약, \(n = 0\), 즉, \(m=-1\)이면,
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{d}{dx} \ln x= \frac{1}{x}= x^{-1}\)
에 대해, 역도함수를 적용하면,
\(\quad\)\(\displaystyle \int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x +C\) (\(C\)는 적분상수)
지수함수의 부정적분
위와 마찬가지로, 지수함수와 로그함수의 미분에 대해,
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a\)
역도함수를 구해보면,
\(\quad\)\(\displaystyle \int a^x dx = \frac{1}{\ln a} a^x + C\)
양쪽 변에 \(a=e\)를 대입하면,
\(\quad\)\(\displaystyle \int e^x dx = e^x + C\)
삼각함수의 부정적분
삼각함수의 미분에 대해, 그의 역도함수를 구해보면,
\(\quad\)\(\displaystyle \int \sin x dx = -\cos x +C\)
\(\quad\)\(\displaystyle \int \cos x dx = \sin x +C\)
\(\quad\)\(\displaystyle \int \sec^2 x dx = \tan x +C\)
\(\quad\)\(\displaystyle \int \csc^2 x dx = -\cot x +C\)