수학에서, 삼각 치환(Trigonometric substitution)은 다른 표현에 대한 삼각 함수의 치환입니다. 제곱근 표현(radical expression)을 포함하는 특정 적분을 단순화하기 위해 삼각 항등식(trigonometric identities)을 사용할 수 있습니다:
치환 1. 만약 피 적분(integrand)에 \(a^2-x^2\)이 포함되면, 다음과 같이 놓고
\(\quad\)\(x = a \sin \theta\)
\(\quad\)그리고 다음의 항등식(identity)을 사용합니다:
\(\quad\)\(1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta.\)
치환 2. 만약 피 적분에 \(a^2+x^2\)이 포함되면, 다음과 같이 놓고
\(\quad\)\(x = a \tan \theta\)
\(\quad\)그리고 다음의 항등식을 사용합니다:
\(\quad\)\(1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta.\)
치환 3. 만약 피 적분에 \(x^2-a^2\)이 포함되면, 다음과 같이 놓고
\(\quad\)\(x = a \sec \theta\)
\(\quad\)그리고 다음의 항등식을 사용합니다:
\(\quad\)\(\sec^2 \theta -1 = \tan^2 \theta.\)
기본예제
기본예제1
부정적분 \(\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)에 대해
\(\quad\)\(x=a\sin\theta \rightarrow dx=a\cos\theta\)
따라서,
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} & = \int\frac{a\cos\theta\, d\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}} \\
&= \int\frac{a\cos\theta\, d\theta}{\sqrt{a^2(1-\sin^2 \theta)}} \\
&= \int\frac{a\cos\theta\, d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2 \theta}} \\
&= \int d\theta \\
&= \theta + C \\
\end{align}\)
주목할 것은 위의 과정에서 \(a > 0\) 및 \(\cos \theta > 0\)를 가정합니다; 우리는 \(a^2\)의 양의 제곱근을 \(a\)로 선택할 수 있습니다; 그리고 코사인이 양수이므로, \(-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\)이 되도록 제한합니다.
기본예제2
부정적분 \(\displaystyle \int\frac{\mathrm dx}{{a^2+x^2}}\)에 대해,
\(\quad\)\(x=a\tan\theta \rightarrow dx=a\sec^2 d\theta\)
따라서,
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\int\frac{dx}{{a^2+x^2}} & = \int\frac{a\sec^2 \theta\, d\theta}{{a^2+a^2\tan^2 \theta}} \\
&= \int\frac{a\sec^2 \theta\, d\theta}{{a^2(1+\tan^2 \theta)}} \\
&= \int \frac{a\sec^2 \theta\, d\theta}{{a^2\sec^2 \theta}} \\
&= \int \frac{d\theta}{a} \\
&= \frac{1}{a}\cdot \theta+C \\
\end{align}\)
여기서 \(a \ne 0\)입니다.
기본예제3
부정적분 \(\displaystyle \int\sqrt{x^2 - a^2}\, dx\)에 대해
\(\quad\)\(x = a \sec \theta \rightarrow dx = a \sec \theta \tan \theta\, d\theta\)
따라서,
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\int\sqrt{x^2 - a^2}\, dx & = \int\sqrt{a^2 \sec^2 \theta - a^2} \cdot a \sec \theta \tan \theta\, d\theta \\
&= \int\sqrt{a^2 (\sec^2 \theta - 1)} \cdot a \sec \theta \tan \theta\, d\theta \\
&= \int\sqrt{a^2 \tan^2 \theta} \cdot a \sec \theta \tan \theta\, d\theta \\
&= \int a^2 \sec \theta \tan^2 \theta\, d\theta \\
&= a^2 \int \sec \theta (\sec^2 \theta - 1)\, d\theta \\
&= a^2 \int (\sec^3 \theta - \sec \theta)\, d\theta.
\end{align}\)