(고등학교) 삼각 치환적분법

수학에서, 삼각 치환(Trigonometric substitution)은 다른 표현에 대한 삼각 함수의 치환입니다. 제곱근 표현(radical expression)을 포함하는 특정 적분을 단순화하기 위해 삼각 항등식(trigonometric identities)을 사용할 수 있습니다:

치환 1. 만약 피 적분(integrand)에 $a^2-x^2$이 포함되면, 다음과 같이 놓고

$$$x=a\sin \theta$

$$그리고 다음의 항등식(identity)을 사용합니다:

$$$1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta .$

치환 2. 만약 피 적분에 $a^2+x^2$이 포함되면, 다음과 같이 놓고

$$$x=a\tan \theta$

$$그리고 다음의 항등식을 사용합니다:

$$$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta .$

치환 3. 만약 피 적분에 $x^2-a^2$이 포함되면, 다음과 같이 놓고

$$$x=a\sec \theta$

$$그리고 다음의 항등식을 사용합니다:

$$${\sec }^2\theta -1={\tan }^2\theta .$

기본예제

기본예제1

부정적분 ${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}$에 대해

$$$x=a\sin \theta \to dx=a\cos \theta$

따라서,

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}& =\int \frac{a\cos \theta d\theta }{\sqrt{a^2-a^2{\sin }^2\theta }}\\ & =\int \frac{a\cos \theta d\theta }{\sqrt{a^2(1-{\sin }^2\theta )}}\\ & =\int \frac{a\cos \theta d\theta }{\sqrt{a^2{\cos }^2\theta }}\\ & =\int d\theta \\ & =\theta +C\end{array}}$

주목할 것은 위의 과정에서 $a>0$ 및 $\cos \theta >0$를 가정합니다; 우리는 $a^2$의 양의 제곱근을 $a$로 선택할 수 있습니다; 그리고 코사인이 양수이므로, $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$이 되도록 제한합니다.

기본예제2

부정적분 ${\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}}$에 대해,

$$$x=a\tan \theta \to dx=a{\sec }^{2}d\theta$

따라서,

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}\int \frac{dx}{a^2+x^2}& =\int \frac{a{\sec }^2\theta d\theta }{a^2+a^2{\tan }^2\theta }\\ & =\int \frac{a{\sec }^2\theta d\theta }{a^2(1+{\tan }^2\theta )}\\ & =\int \frac{a{\sec }^2\theta d\theta }{a^2{\sec }^2\theta }\\ & =\int \frac{d\theta }{a}\\ & =\frac{1}{a}\cdot \theta +C\end{array}}$

여기서 $a\ne 0$입니다.

기본예제3

부정적분 ${\displaystyle \int \sqrt{x^2-a^2}dx}$에 대해

$$$x=a\sec \theta \to dx=a\sec \theta \tan \theta d\theta$

따라서,

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}\int \sqrt{x^2-a^2}dx& =\int \sqrt{a^2{\sec }^2\theta -a^2}\cdot a\sec \theta \tan \theta d\theta \\ & =\int \sqrt{a^2({\sec }^2\theta -1)}\cdot a\sec \theta \tan \theta d\theta \\ & =\int \sqrt{a^2{\tan }^2\theta }\cdot a\sec \theta \tan \theta d\theta \\ & =\int a^2\sec \theta {\tan }^2\theta d\theta \\ & =a^2\int \sec \theta ({\sec }^2\theta -1)d\theta \\ & =a^2\int ({\sec }^3\theta -\sec \theta )d\theta .\end{array}}$