(고등학교) 여러 가지 함수

함수에서 함수의 정의에 대해서 알아보았습니다. 여기서는 함수 중에 특별한 경우의 함수에 대해 알아보겠습니다.

일대일함수

오른쪽 그림처럼 정의역 $X=\{1,2,3\}$와 공역 $Y=\{2,4,6,8\}$에 대하여 함수 $f:X\to Y$일 때, 집합 $X$의 각 원소에 집합 $Y$의 서로 다른 원소가 하나씩 대응됩니다. 이와 같이 정의역의 서로 다른 두 원소에 대응하는 공역의 원소가 서로 다른 원소를 갖는 함수를 일대일함수라고 합니다.
즉, 함수 $f:X\to Y$에서 정의역 $X$의 임의의 두 원소 $x_1,x_2$에 대하여

$$$x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2)$

일 때, 함수 $f$를 일대일함수라고 합니다.

한편 어떤 명제에 대해, 대우는 항상 진리값이 같으므로, 다음과 같이 역시 표현될 수 있습니다:

$$$f(x_1)=f(x_2)⟹x_1=x_2$

일대일 대응

오른쪽 그림처럼 정의역 $X=\{1,2,3,4\}$와 공역 $Y=\{2,4,6,8\}$에 대하여 함수 $f:X\to Y$일 때, 집합 $X$의 각 원소에 집합 $Y$의 서로 다른 원소가 하나씩 대응되고, 공역과 치역이 서로 같습니다. 이와 같이 공역과 치역이 같으며, 정의역의 서로 다른 두 원소에 대응하는 공역의 원소가 서로 다른 원소를 갖는 함수를 일대일 대응이라고 합니다.

즉, 함수 $f:X\to Y$에서 정의역 $X$의 임의의 두 원소 $x_1,x_2$에 대하여

$$(1) 치역과 공역이 같고
$$(2) $x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2)$ 일 때,

함수 $f$를 일대일 대응이라고 합니다.

일대일 대응의 그래프

함수의 그래프에서 $y$축과 나란한 직선과 한 곳에서 만날 때 $f:X\to Y$로의 함수임을 알아보았습니다. 

한편, 함수 중에서 일대일의 그래프를 찾을 때에는 $x$축과 나란한 직선과 한 곳에서만 만나야 합니다. 즉, 정의역과 공역이 모든 실수일 때, 일대일 대응의 그래프는 다음과 같은 증가함수 또는 감소함수에서 나타납니다.

반면에 아래의 이차함수는 두 곳에서 만나기 때문에 일대일 대응이 아닙니다. 물론 정의역에 제한을 둔 이차함수는, 증가함수나 감소함수를 만들 수 있기 때문에, 일대일 대응이 가능합니다.

항등함수

오른쪽 그림처럼, 정의역의 임의의 원소에 대하여 그 함숫값이 자기 자신인 대응관계를 가질 때, 이와 같은 함수를 항등함수라고 합니다.

즉, 정의역의 임의의 원소에 대하여 함숫값이 자기 자신이 대응되는 함수

$$$f:X\to Y,f(x)=x(x\in X)$

를 항등함수(identity function)라고 합니다.

상수함수

오른쪽 그림처럼, 정의역의 모든 원소에 대하여 그 함숫값이 항상 같은 값을 가지는 대응관계를 가질 때, 이와 같은 함수를 상수함수라고 합니다.

즉, 정의역 $X$의 모든 원소 $x$가 공역 $Y$의 한 원소에만 대응될 때, 

$$$f:X\to Y,f(x)=c(c\in Y,c$는 상수$)$

를 상수함수라고 합니다.

상수함수의 그래프는 $x$축에 평행한 모든 직선이 이에 해당합니다.

응용예제

응용예제1

실수 전체에서 정의된 함수 $f(x)=3|x-1|+ax+1$의 역함수가 존재하기 위한 $a$의 범위는?

응용예제2

실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& ax+2& (x\ge 0)\\ & (3-a)x+a& (x<0)\end{array}$

가 일대일함수가 되기 위한 실수 $a$의 값의 범위를 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오.

응용예제3

실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& x^2-2ax+b& (x\ge 1)\\ & x-1& (x<1)\end{array}$

이 역함수가 존재하도록 하는 음이 아닌 실수 $a,b$에 대하여 점 $(a,b)$의 자취의 길이가 ${\displaystyle \sqrt{\frac{q}{p}}}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,q$는 서로소인 자연수입니다.)

응용예제4

영이 아닌 임의의 실수 $x$에 대하여 $f(x)$가 ${\displaystyle f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x}$를 만족할 때, 방정식 $f(x)=1$의 두 근의 합을 구하여라.