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수학

(고등학교) 쌍곡선의 평행이동

by 다움위키 2023. 11. 5.

쌍곡선의 그래프의 평행이동도 역시 타원의 그래프의 평행이동과 이론적으로 동일합니다. 타원은 같은 하나의 식으로 표현되지만, 쌍곡선은 주축의 위치에 따라, 오른쪽의 부호가 달라집니다.

쌍곡선의 방정식 

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

을 \(x\)-축으로 \(m\)만큼 \(y\)-축으로 \(n\)만큼 평행이동한 방정식은

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1\cdots(1)\)

타원의 방정식의 일반형

물론, 고등학교 교과서에서 다루는 쌍곡선의 방정식이 일반적인 경우는 아닙니다. 쌍곡선이 일반적인 모양이 되려면, 두 초점이 놓인 직선이 임의의 직선이 될 경우인데, 꽤 복잡하기 때문에 다루지 않습니다.

어쨌든, 주축이 \(x\)-축 또는 \(y\)-축에 평행한 직선으로 제한적인 상황에서,

식 (1)을 전개한 후, 정리하면,

\(\quad\)\(Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0\)

이때, 포물선 또는 타원과 달리, \(AB<0\)라는 조건으로 쌍곡선이 그려집니다. 예를 들어,

\(\quad\)\((x-m)^2-3(y-n)^2=-3\)

쌍곡선과 직선의 위치 관계

두 도형의 위치 관계는 쌍곡선과 직선에 대해 적용이 가능합니다.

쌍곡선은 최고 차수가 2차이고, 직선은 1차이므로, 연립방정식은 이차 방정식입니다. 따라서, 이차방정식의 판별식에 의해 교점의 개수를 결정할 수 있습니다.