쌍곡선의 그래프의 평행이동도 역시 타원의 그래프의 평행이동과 이론적으로 동일합니다. 타원은 같은 하나의 식으로 표현되지만, 쌍곡선은 주축의 위치에 따라, 오른쪽의 부호가 달라집니다.
쌍곡선의 방정식
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
을 \(x\)-축으로 \(m\)만큼 \(y\)-축으로 \(n\)만큼 평행이동한 방정식은
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1\cdots(1)\)
타원의 방정식의 일반형
물론, 고등학교 교과서에서 다루는 쌍곡선의 방정식이 일반적인 경우는 아닙니다. 쌍곡선이 일반적인 모양이 되려면, 두 초점이 놓인 직선이 임의의 직선이 될 경우인데, 꽤 복잡하기 때문에 다루지 않습니다.
어쨌든, 주축이 \(x\)-축 또는 \(y\)-축에 평행한 직선으로 제한적인 상황에서,
식 (1)을 전개한 후, 정리하면,
\(\quad\)\(Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0\)
이때, 포물선 또는 타원과 달리, \(AB<0\)라는 조건으로 쌍곡선이 그려집니다. 예를 들어,
\(\quad\)\((x-m)^2-3(y-n)^2=-3\)
쌍곡선과 직선의 위치 관계
두 도형의 위치 관계는 쌍곡선과 직선에 대해 적용이 가능합니다.
쌍곡선은 최고 차수가 2차이고, 직선은 1차이므로, 연립방정식은 이차 방정식입니다. 따라서, 이차방정식의 판별식에 의해 교점의 개수를 결정할 수 있습니다.
