유리함수는 두 개의 곡선으로 이루어져 있고, 쌍곡선의 일종입니다.
유리함수의 그래프는 \(x\)-축에 점점 다가가거나, 또는 \(y\)-축으로 점점 다가가는 경향이 있는데, 이 두 직선을 점근선이라고 합니다.
원뿔곡선 중에 쌍곡선도 마찬가지로 점근선을 가집니다.
먼저, 두 초점에 \(x\)-축 위에 있는 쌍곡선
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
을 \(y\)에 대하여 풀면,
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
y & =\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2} \\
& = \pm \frac{b}{a}x \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}} \\
\end{align}\)
여기서, \(x\)의 절댓값이 커짐에 따라, 그의 극한
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)= 1\)
따라서, 두 초점이 \(x\)-축 위에 있는 쌍곡선의 점근선은
\(\quad\)\(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a}x\)
마찬가지로 위의 과정을 거쳐, 두 초점이 \(y\)-축 위에 있는 쌍곡선의 점근선도 위와 같음을 알 수 있습니다.
