수학(mathematics)에서, 삼차 함수는 다음 형식의 함수(function)입니다:
\(\quad\)\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)
여기서 계수 \(a,b,c\), 및 \(d\)는 실수이고, 변수 \(x\)는 실수 값을 취하고, \(a\neq 0\)입니다. 다시 말해서, 삼차 함수는 차수 3의 다항 함수(polynomial function)이고, 실수 함수(real function)입니다. 특히, 도메인(domain)과 코도메인(codomain)은 실수의 집합입니다. \(f(x)=0\)를 설정하면 다음 형식의 삼차 방정식(cubic equation)을 산출합니다:
\(\quad\)\(ax^3+bx^2+cx+d=0,\)
그의 해는 함수의 근(roots)으로 불립니다.
삼차 함수는 하나 또는 셋의 실수 근을 가집니다 (적어도 하나의 실수 근의 존재는 모든 홀수-차수 다항 함수에 대해 참입니다).
삼차 함수의 그래프(graph)는 단일 변곡점(inflection point)을 가집니다. 게다가, 삼차 함수는 극댓값과 극솟값을 같이 가질 수 있고, 그렇지 않으면, 단조적(monotonic)이라서 극값을 가지지 않습니다. 삼차 함수의 그래프는 그것의 변곡점에 관해 대칭입니다; 즉, 삼차 함수는 변곡점을 중심으로 반 바퀴 회전 아래에서 불변, 즉, 변곡점에 대해 점대칭입니다.
극점 및 변곡점
삼차 함수의 극점은 접선의 함수의 기울기가 영인 점입니다. 따라서 삼차 함수 f의 극점은 삼차 함수의 도함수(derivative)가 영인 것을 만족시킵니다:
\(\quad\)\(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c = 0\;\;\{\alpha,\beta\}\)
만약 이 이차방정식이 서로 다른 두 개의 실근을 가지면, 두 개의 극점이 있으며, 하나는 극댓점이고, 다른 하나는 극솟점입니다. 만약 오직 하나의 실근을 가지면, 오직 하나의 임계점이 있으며, 이것은 변곡점(inflection point)입니다. 만약 실근을 가지지 않으면, (실수) 극점은 없습니다. 후자의 두 가지 경우에서, 삼차 함수는 엄격하게 단조적(monotonic), 즉, 증가함수 또는 감소함수입니다.
함수의 변곡점은 해당 함수가 오목성(concavity)을 변경하는 곳입니다. 변곡점은 이차 도함수(second derivative)가 영이고, 삼차 도함수가 비-영일 때 발생합니다 (선행 계수가 영이 아니기 때문에 만족시킵니다).
\(\quad\)\(f''(x) = 6ax + 2b = 0\)
따라서 삼차 함수는 항상 단일 변곡점이 있으며, 이것은 다음에서 발생합니다:
\(\quad\)\(\displaystyle x = -\frac{b}{3a}.\)
평행이동과 홀수함수
삼차 함수는 변곡점에 대해 대칭이므로, 변곡점을 원점으로 이동하면, 대칭점이 원점인 홀수 함수가 됩니다.
먼저, 일반적인 삼차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\)를 \(x\)-축으로 \(\frac{b}{3a}\)만큼 평행이동시킵니다.
\(\quad\)\(\displaystyle y=a\left(x-\frac{b}{3a}\right)^3+b\left(x-\frac{b}{3a}\right)^2+c\left(x-\frac{b}{3a}\right)^2+d\)
이것을 전개하면, 결과가 홀수함수가 되므로, 이차항의 계수와 상수항은 계산할 필요가 없습니다. 선행 계수는 \(a\)로 고정되어 있기 때문에, 단지 일차항의 계수가 전개될 필요가 있습니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
y & = ax^3+3a\cdot\frac{b^2}{9a^2}x-2b\cdot\frac{b}{3a}x+cx \\
& = ax^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)x \\
\end{align}\)
삼차함수와 직선
삼차함수가 극대와 극소를 가지려면, 그것의 도함수가 두 개의 실근을 가져야 합니다. 이때, 삼차함수의 극대 또는 극소를 지나면서 \(x\)-축과 나란히 접선을 생각해 보십시오.
먼저 삼차함수를 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\;(a>0)\)로 놓으면, 삼차함수와 \(y=k_1\)과 \(x=\alpha\)에서 접하고 \(x=p_1\)에서 만납니다. 즉, \(y=f(x),\;y=k_1\)를 연립방정식을 풀었을 때, (이)중근(실근) \(\alpha\)과 또 다른 실근 \(p_1\)을 가집니다.
\(\quad\)\(f(x)-k_1=0\;\;\{\alpha,\;\alpha,\;p_1\}\)
따라서, 삼차함수는 아래와 같이 식을 만들 수 있습니다:
\(\quad\)\(f(x)-k_1=a(x-\alpha)^2(x-p_1)\cdots(1)\)
다음으로, 삼차함수를 미분하면, 두 개의 실근 \(\alpha,\;\beta\)를 가집니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
f'(x) & = 2a(x-\alpha)(x-p_1)+a(x-\alpha)^2 \\
& = a(x-\alpha)(2x-2p_1+x-\alpha) \\
\end{align}\)
따라서, \(\beta=\frac{2p_1+\alpha}{3}\)이고, \((p_1,0)\)와 \((\alpha,0)\)를 \(2:1\)로 내분하는 점이 \(\beta\)임을 의미합니다.
한편, 삼차함수와 \(y=k_2\)와 \(x=\alpha\)에서 접하고 \(x=p_2\)에서 만납니다. 따라서, 삼차함수는 아래와 같이 식을 만들 수 있습니다:
\(\quad\)\(f(x)-k_2=a(x-\beta)^2(x-p_2)\cdots(2)\)
게다가, 삼차함수의 변곡점에 대한 대칭성에 의해, \(\alpha=\frac{2p_2+\beta}{3}\)이고, \((p_2,0)\)와 \((\beta,0)\)를 \(1:2\)로 내분하는 점이 \(\alpha\)임을 의미합니다.
게다가, 삼차함수는 변곡점에 대해 대칭이므로, 극댓점과 극솟점의 중점이 변곡점이 됩니다. 따라서, 위의 그림에서 비율 2에 해당하는 부분이 절반씩 나뉘게 됩니다.
이 사실은 극댓점과 극솟점이 아니더라도, 삼차 함수의 위의 한 점과 그 점을 변곡점에 대해 대칭한 점, 두 점으로 바뀌어도 변하지 않습니다 (그러나, 변곡점은 대칭이동되지 않으므로 이 상황을 만족하지 않습니다).
이때에는 위와는 다르게 다음과 같이 식을 만들 수 있습니다. 삼차 함수, \(y=f(x)\)와 \(y=k_{11}x+k_{12}\)가 \(x=\alpha\)에서 접하면서 \(x=p_1\)에서 만나므로,
\(\quad\)\(f(x)-(k_{11}x+k_{12})=a(x-\alpha)^2(x-p_1)\)
이것을 미분하면,
\(\quad\)\(\begin{align}
f'(x)-k_{11} & = 2a(x-\alpha)(x-p_1)+a(x-\alpha)^2 \\
& = a(x-\alpha)(2x-2p_1+x-\alpha) \\
\end{align}\)
이때, \(f'(\alpha)=k_{11}\)이므로, 이 방정식을 만족하는 다른 근이 \(f'(\alpha)=k_{11}\)와 기울기가 같은 \(k_{21}\)의 \(x\)-좌표입니다.
식 자체는 위의 것과 동일하기 때문에, 좌표의 위치도 동일함을 알 수 있고, 따라서 거리비가 같습니다.
두 경우의 비교
위의 두 경우가 달라 보이지만, 물론 숫자는 달라질 수 있겠지만, 같은 경우로 볼 수 있습니다.
첫 번째 경우에서, 다음의 연립방정식의 근이 \(\alpha, \alpha, p_1\)이 나온다는 의미입니다.
\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
y & = f(x) \\
y & = k \\
\end{align}\right.\)
연립방정식의 결과가, 선행 계수가 바뀌지 않기 때문에, 아래와 같이 쓰일 수 있습니다:
\(\quad\)\(f(x)-k = a (x-\alpha)^2(x-p_1)\)
한편, 다음 연립방정식을 생각해 보십시오:
\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
y & = f(x)+x \\
y & = k+x \\
\end{align}\right.\)
이런 그래프는 두 번째 경우의 그래프로 바뀌게 되는데, 왜냐하면 연립방정식의 결과는 같기 때문이고, 역시 연립방정식의 결과는 아래와 같이 쓸 수 있습니다:
\(\quad\)\(f(x)+x-(x+k) = a (x-\alpha)^2(x-p_1)\)
물론, 삼차함수와 일차함수의 식 자체가 달라지기 때문에, 첫 번째 경우는 극대 또는 극소에 접하고, 두 번째 경우는 극대 또는 극소가 아닌 점에서 접합니다.
변곡점을 통과하는 직선
삼차함수가 극값을 가질 때, 변곡점을 통과하는 직선과 삼차함수는 세 점에서 만납니다 (변곡점에 접하는 직선은 예외적으로 한 곳에서 만납니다). 이때, 삼차함수의 변곡점, 극점 및 교점 사이의 비율 관계가 있습니다.
문제를 단순화하기 하기 위해 평행이동을 해서, 변곡점의 \(x\)-좌표를 0으로 만들고, 변곡점을 통과하는 직선도 기울기를 0으로 만듭니다.
그림처럼, 삼차함수 \(y=f(x)\)와 \(y=k\)는 세 점에서 만나므로, 아래와 같이 식을 세울 수 있습니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
f(x)-k & =ax(x+p_1)(x-p_1) \\
& = a(x^3-p_1^2x) \\
\end{align}\)
이제 극값을 구하기 위해, 양쪽 변을 미분하면,
\(\quad\)\(f'(x)=a(3x^2-p_1^2)\)
극값은 이 방정식을 0으로 만드는 \(x\)-좌표이므로,
\(\quad\)\(\displaystyle \alpha= \frac{p_1}{\sqrt{3}}\)
즉, 그림처럼, 변곡점에서 극솟점까지의 거리, \(\alpha\), 변곡점에서 교점까지의 거리, \(p_1\)는 \(\alpha:p_1=1:\sqrt{3}\)입니다. 여기서는 변곡점을 원점에 두어서 좌표가 거리로 결정되지만, 다른 경우에는 먼저 거리를 계산해야 합니다.
이 관계는, 삼차함수와 일차 함수의 식이 바뀌더라도, 만나는 좌표가 같기 때문에, 유지됩니다.
\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
y & = f(x) + x \\
y & = k + x \\
\end{align}\right.\)
삼차함수와 접선 사이의 넓이
이차함수, \(f_1(x)=ax^2+bx+c\)와 서로 다른 두 점에서 만나는 일차함수, \(f_2(x)=mx+n\) 사이의 넓이는 다음의 과정으로 구해집니다. 먼저 두 방정식을 연립하면
\(\quad\)\(f_1(x)=f_2(x)\quad\{\alpha, \beta\}\;(\alpha<\beta)\)
이것으로부터, 아래와 같이 식을 적을 수 있습니다:
\(\quad\)\(f_1(x)-f_2(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)\)
그런-다음, 계산의 편의를 위해, \(x\)축으로, \(-\alpha\)만큼 평행이동해도 넓이는 바뀌지 않습니다.
따라서, 구하려는 넓이는
\(\quad\)\(\begin{align}
S & = \left|\int_0^{\beta-\alpha} a\left\{x^2-(\beta-\alpha)x\right\}dx\right| \\
& = \left|a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{(\beta-\alpha)x^2}{2}\right]_0^{\beta-\alpha}\right| \\
& = \left|\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3\right| \\
& = \frac{|a|}{6}\left(\beta-\alpha\right)^3
\end{align}\)
이차함수와 일차함수의 꼴이 중요한 것이 아니라, 두 함수가 만나는 점, 즉, 두 함수를 연립한 \(x\)의 이차방정식의 실근에 의존적임을 알 수 있습니다. 게다가, 두 이차함수가 두 점에서 만나는 경우도 같은 식을 이용해서 넓이를 구할 수 있습니다.
이차함수와 유사한 상황이 삼차함수에서 발생합니다. 위에서와 마찬가지로, 극점 중 하나에서 접선을 그었을 때, 삼차함수와 접선 사이의 넓이를 생각해 보십시오.
구하려는 넓이는 아래와 같이 쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle S=\int_\alpha^\beta (k-f(x))dx \)
이것을 계산하는 것은 시간 소모가 발생할 수 있기 때문에, 좀 더 쉬운 계산 방법이 필요해 보입니다.
먼저, 주어진 그림에서 \(\alpha\)를 원점으로 평행이동하더라도, 넓이는 바뀌지 않습니다. 이것을 식으로 표현하면, 원래 방정식으로부터
\(\quad\)\(f(x)-k=a(x-\alpha)^2(x-\beta)\)
여기서 \(\beta>\alpha\)입니다.
평행이동 후의 넙이는 그것의 정적분의 절댓값입니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
S & = \left|\int_0^{\beta-\alpha}ax^2(x-(\beta-\alpha))dx\right| \\
& = \left|a\int_0^{\beta-\alpha}(x^3-(\beta-\alpha)x^2)dx\right| \\
& = \left|a\left[\frac{x^4}{4}-\frac{(\beta-\alpha)x^3}{3}\right]_0^{\beta-\alpha}\right| \\
& = \left|\frac{a}{12} (\beta-\alpha)^4\right| \\
& = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4 \\
\end{align}\)
이 상황은, 위에서 설명한 것처럼, 접점이 극점이 아닌 접선과 삼차함수가 두 점 \(\alpha, \beta\)에서 만날 때 유지됩니다.
응용예제
응용예제1
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
\(\quad\)(가) 방정식 \(f(x)-x=0\)의 서로 다른 실근의 개수는 2이다.
\(\quad\)(나) 방정식 \(f(x)+x=0\)의 서로 다른 실근의 개수는 2이다.
\(f(0)=0,\;f'(1)=1\)일 때, \(f(3)\)의 값을 구하시오. [4점] [2020학년도 수능 나형 30번]
응용예제2
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)와 최고차항의 계수가 −1인 이차함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
\(\quad\)(ㄱ) 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((0,0)\)에서의 접선과 곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((2,0)\)에서의 접선은 모두 \(x\)축이다.
\(\quad\)(ㄴ) 점 \((2,0)\)에서 곡선 \(y=f(x)\)에 그은 접선의 개수는 2이다.
\(\quad\)(ㄷ) 방정식 \(f(x)=g(x)\)는 오직 하나의 실근을 가진다.
\(x>0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여
\(\quad\)\(g(x) \le kx -2 \le f(x)\)
를 만족시키는 실수 \(k\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(\alpha,\;\beta\)라 할 때, \(\alpha-\beta=a+b\sqrt{2}\)이다. \(a^2+b^2\)의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\)는 유리수이다.) [4점] [2019학년도 수능 나형 30번]
