부정 방정식은 해의 개수가 무한히 많은 방정식을 말합니다.
방정식 \(xy=2\)에 대한 해를 구하여라. 이런 문제의 해는 무엇이 될까요? 아마도 많은 사람들이 \(1\times 2\) 또는 \(2\times 1\)을 생각할지도 모르겠습니다.
그러나, 이 문제는 애초에 집합을 정의하지 않았기 때문에 잘못 출제된 문제입니다.
- 자연수 \(x,y\)일 경우는 2쌍의 해를 갖습니다.
- 정수 \(x,y\)일 경우에는 4쌍의 해를 갖습니다.
- 유리수 \(x,y\)일 경우에는 무수히 많은 해를 갖습니다.
고등학교에서는 대부분 해를 실수에서 많이 찾습니다. 이는 부정방정식을 좌표평면 위에 도시하는 것을 주로 다루기 때문입니다. 예를 들어, 좌표평면 위에 도형으로 그려지는 것 (직선, 포물선, 삼차함수, 원 등)은 전부 부정방정식입니다. 방정식 \(y=2x\)는 기하학적 입장에서 직선으로 부르지만, 대수학에서는 2원1차 부정방정식으로 불리워집니다. 즉, 대수학에서 만들어지는 무수히 많은 해를 좌표평면 위에 도시하면 직선의 모양을 띕니다.
또한 연립방정식에서는 미지수의 개수보다 적은 방정식을 가지면 항상 부정방정식이 됩니다. 왜냐하면, 소거법을 적용해서 미지수를 없애더라도 1개의 미지수만 남게 만들 수는 없기 때문입니다. 따라서, 유한개의 해를 가질 수 없고 항상 무한 개의 해를 갖기 때문에 부정방정식이라고 분류합니다.
여기서는 부정방정식에 특별한 조건을 줌으로써 유한 개의 해를 갖는 경우를 알아보겠습니다.
정수 조건
정수 \(x,y\)에 대하여 \(xy=2\)를 만족하는 해는 다음과 같은 4쌍입니다. 자연수일 때에는 앞의 2쌍만 해를 갖습니다.
\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
x& = 1 \\
y& = 2
\end{align}\right.\) 또는 \(\left\{\begin{align}
x& = 2 \\
y& = 1
\end{align}\right.\) 또는 \(\left\{\begin{align}
x& = -1 \\
y& = -2
\end{align}\right.\) 또는 \(\left\{\begin{align}
x& = -2 \\
y& = -1
\end{align}\right.\)
이와 같이 미지수 2개인 2원1차 부정방정식은 정수(또는 자연수)로 제한을 둘 경우에 유한개의 해를 가질 수 있습니다. 즉, 아래와 같이 정리해서 해를 찾습니다.
\(\quad\)(일차식) × (일차식)=정수
실수 조건
이차방정식 \((x-2)^2+(y-3)^2=0\)의 해는 무엇일까요? 이런 경우에도 미지수의 조건이 제시되지 않았기 때문에 해를 구할 수 없습니다.
만약 \(x,y\)가 복소수라면 무수히 많은 해를 구할 수 있습니다. 예를 들어 \(x=2+k\sqrt{-1}\) (\(k\)는 실수)이라면, \((y-3)^2=k^2\)이 되어서 무수히 많은 해를 가집니다.
반면에 \(x,y\)가 실수라면, \(x=2\) 그리고 \(y=3\)의 1쌍의 해를 가집니다. 왜냐하면, 실수의 제곱은 양수 또는 영이므로, 양수 2개를 합해서 0을 만들 수 없기 때문에, 오로지 \(0^2+0^2=0\)의 꼴의 해를 가집니다.
그러므로 2차식에서 실수조건이 있다면, 다음과 같은 경우를 생각해 볼 수 있습니다.
\(\quad\)\(\mathrm{실수}^2 + \mathrm{실수}^2 = 0\)
응용예제
응용예제1
다음 방정식을 만족하는 두 실수 \(x,y\)를 구하여라.
(1) \(4x^2+y^2+4x-8y+17=0\)
해설) 이런 경우에는 다음과 같이 쉽게 완전제곱식 2개로 나눌 수 있습니다.
\(\quad\)\(4x^2+4x+1+y^2-8y+16=0\)
\(\quad\)\((2x+1)^2+(y-4)^2=0\)
\(\quad\)∴ \(x=-\frac{1}{2}\; \text{and}\; y=4\)
(2) \(3x^2+y^2-2xy-8y+24=0\)
해설) 이런 경우에는 쉽게 완전제곱식 2개로 분해가 되지 않습니다. 예를 들어, \(-2xy\)항을 완전제곱식으로 만들기 위해서 다음과 같이 분해해도 남은 부분에서 완전제곱식이 되지 않습니다.
\(\quad\)\((x^2+y^2-2xy)+(2x^2-8y+24)=0\)
이제 완전제곱식으로 싶게 분해되지 않는 경우에 다음과 같은 일반적인 방법으로 해를 구할 수 있습니다. 위 식을 \(x\)에 대해서 정리를 합니다.
\(\quad\)\(3x^2-2yx+y^2-8y+24=0\)
문자의 선택은 마음대로 하셔도 좋습니다. 그러므로 다음 과정이 잘 안 보일 때에는 다른 문자(\(y\))로 정리해 보는 것도 방법입니다.
실수 \(x\)가 해를 가져야 하기 때문에, \(x\)에 대한 이차방정식의 판별식 \(D/4\geq 0\)를 만족해야 합니다.
\(\quad\)\(D/4=(-y)^2-3(y^2-8y+24)\geq 0\)
\(\quad\)\(-2y^2+24y-72\geq 0\)
\(\quad\)\(y^2-12y+36\leq 0\)
\(\quad\)\((y-6)^2\leq 0\)
마찬가지로 \(y\)도 실수이기 때문에, 제곱이 음수가 되는 경우는 없습니다. 그러므로 \(0\)을 만족시키는 \(y=6\)이 정답입니다.
이 값을 원식에 대입하면, \(x\)관한 완전제곱식을 구할 수 있습니다.
\(\quad\)\(3x^2-2(6)x+(6)^2-8(6)+24=0\)
\(\quad\)\(3x^2-12x+12=0\)
\(\quad\)\((x-2)^2=0\)
그러므로 \(x=2\) 그리고 \(y=6\)이 정답입니다.
응용예제2
이차방정식 \(ax^2-(a-3)x+a-2=0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라고 놓습니다. 만약 \(\alpha, \beta\)가 모두 자연수일 때, \(\alpha^2+\beta^2\)의 값은?
응용예제3
\(a+b+c=4+2\sqrt{3}\), \(a^2+b^2+c^2+6=2a+6c\)일 때, \(6a-3b+9c=x+y\sqrt{3}\)라고 합니다. \(x+y\)의 값은? (단, \(a,b,c\)는 실수, \(x,y\)는 유리수입니다.)
응용예제4
\(x\)가 자연수일 때, 이차식 \(x^2-10x+4\)는 어떤 자연수의 제곱이 됩니다. 이를 만족시키는 모든 자연수 \(x\)값의 곱은?
\(\quad\)ㄱ. 20 ㄴ. 32 ㄷ. 100 ㄹ. 140 ㅁ. 160
응용예제5
이차식 \(x^2+4x+17\)이 어떤 정수의 제곱이 되게 하는 정수 \(x\)의 값들의 곱은?
응용예제6
\(x\)에 관한 삼차방정식 \(ax^3+2bx^2+4bx+8a=0\)이 서로 다른 세 정수를 근으로 갖는다. 두 정수 \(a,b\)가 \(|a|\le 50\), \(|b|\le 50\)일 때, 순서쌍 \((a,b)\)의 개수를 구하시오.
