공통근은 실계수 다항방정식 2개가 같은 근을 가질 때, 이를 공통근 (또는 공통해)이라고 부릅니다. 다항방정식이 공통근을 가진다는 것은 다항식이 공통 인수를 가짐을 의미합니다. 즉, 두 다항식 \(f(x),g(x)\)의 공통 인수를 \(G(x)\)라고 하면, 다음과 같이 쓸 수 있음을 의미합니다:
\(\quad\)\(f(x)=G(x)\cdot f_1(x),\; g(x)=G(x)\cdot g_1(x)\)
공통근을 구할 때에 주어진 두 식중에 한 개라도 근을 구할 수 있다면, 구해진 근을 공통근으로 추측해서 문제를 풀어 나갈 수 있습니다.
그러나 두 식에 미지수가 있어서 근을 구할 수 없는 경우, 즉 다항식 중에서 어느 것도 인수분해가 되지 않으면, 주어진 두 식을 변형해서, 인수분해가 가능한지 여부를 확인할 수 있습니다. 이때 주어진 두 다항식을 더하거나 빼는 방법을 자주 이용하는데, 왜냐하면 두 다항식의 합과 차도 여전히 원래 두 다항식의 공통 인수를 갖기 때문입니다:
\(\quad\)\(f(x)+g(x)=G(x)\cdot \left\{f_1(x)+g_1(x)\right\}\)
\(\quad\)\(f(x)-g(x)=G(x)\cdot \left\{f_1(x)-g_1(x)\right\}\)
응용예제
응용예제1
두 이차방정식 \(x^2+2ax+1=0, x^2+2x+a=0\)이 단 한 개의 공통근을 갖도록 하는 \(a\)의 값을 구하여라. (단, 중근의 공통근은 2개의 공통근으로 간주한다.)
응용예제2
최고차항의 계수가 1인 다항식 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
\(\quad\)(가) \(f\left(x^2\right)\)과 \(x^3f(x)\)는 같은 차수의 다항식이다.
\(\quad\)(나) \(f\left(x^2\right)\)과 \(f(x)\)는 모두 \((x+3)\)으로 나누어떨어진다.
3이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(f\left(x^2\right)\)와 \(f(x)\)가 모두 \(x+k\)로 나누어떨어지도록 하는 모든 \(k\)의 합은?
응용예제3
두 삼차방정식
\(\quad\)\(x^3-2x^2+mx+8=0,\;x^3+2x^2+nx+1=0\)
이 한 개의 정수해를 공통으로 가지고, 나머지 근은 모두 허수일 때, 허수인 모든 근들의 합을 구하시오. (단, \(m,\;n\)은 정수이다.)
응용예제4
한 근이 \(1-\sqrt{2}i\)인 삼차방정식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\)과 이차방정식 \(x^2+ax+2=0\)이 하나의 공통근을 가질 때, 세 실수 \(a,b,c\)에 대하여 \(abc\)의 값을 구하시오. (단, \(i=\sqrt{-1}\))
