미적분1의 방정식과 부등식의 활용과 내용은 동일합니다. 그러나, 미적분1의 삼차함수는 조금 다른 형태로 근을 판별할 수 있지만, 초월함수는 그렇지 않기 때문에, 그의 판별은 대체로 그래프의 개형을 그려서 판별할 수 있습니다.
방정식에의 활용
두 도형의 위치 관계에서, 두 도형의 교점의 개수는 두 도형을 구성하는 식의 연립방정식의 실근의 개수를 의미합니다.
물론, 이것의 역이 성립하기 때문에, \(f(x)=0\)의 실근은 함수 \(y=f(x)\)와 \(y=0\), 즉 \(x\)-축과의 교점의 좌표입니다. 당연히 실근의 개수는 교점의 개수와 같습니다.
게다가, 방정식 \(f(x)=g(x)\)의 실근은 두 함수 \(y=f(x),\;y=g(x)\)의 교점의 \(x\)-좌표입니다. 당연히 실근의 개수는 교점의 개수와 같습니다.
한편, \(f(x)=g(x)\)에서, 주어진 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)의 그래프를 그리기 힘들 때에는, 방정식의 항의 일부를 다른 변으로 이동해서, 그리기 편한 두 함수 \(y=f_1(x),\;y=g_1(x)\)로 바꿀 수 있습니다.
예를 들어, 방정식 \(e^x-x-3=0\)의 서로 다른 실근의 개수는,
조작 없이 \(f(x)=e^x-x-3\)과 \(x\)-축과의 교점의 개수를 구하려면,
- 정의역은 실수 전체이고,
- \(f'(x)=e^x-1=0\)에서, \(x=0\)에서 극값을 가집니다. 만약 극값을 가지지 않으면, 증가 또는 감소함수이므로, 축과의 교점은 1개입니다.
- \(f''(x)=e^x >0\)이므로, 아래로 볼록인 그래프입니다.
- \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\), \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\)입니다.
- 마지막으로 \(f(0)=-2\)입니다.
따라서, 그래프는 아래로 볼록이면서, 극솟값이 음수이므로, \(x\)-축과 서로 다른 두 곳에서 만납니다. 아래로 볼록인데, 극댓값을 가질 수는 없습니다.
이제 함수를 바꾸어서 접근해 보면, 방정식 \(e^x=x+3\)의 서로 다른 실근의 개수는,
두 그래프 \(f(x)=e^x,\;g(x)=x+3\)의 교점의 개수를 구하려면, 두 그래프는 이미 알고 있으므로, 다른 접근법이 필요합니다.
이때, \(f(x)=e^x\)와 접하는 기울기가 1인 직선의 방정식을 구함으로써, 교점의 개수를 알 수 있습니다. 도함수가 1이 되는 점은
\(\quad\)\(f'(x)=e^x=1\)
에서 \((0,1)\)이므로, 접선의 방정식은
\(\quad\)\(y-1=x\)
따라서, 접선보다 \(y=g(x)\)의 \(y\)-절편이 더 크기 때문에, \(f(x)=e^x\)와 \(y=x+3\)의 교점은 2개입니다.
이 예제에서처럼, 대체적으로 기본 그래프로 접근이 가능할 때에는, 이로부터 접근하는 것이 계산의 편의가 있습니다.
부등식에의 활용
특별히 추가되는 내용이 없습니다.