명제와 그것의 역, 이, 대우를 용어로 배우지만, 영어로는 converse, inverse, contraposition이므로, converse를 역으로, inverse를 이로 이름 짓는 것이 과연 올바른지는 생각해 볼 문제입니다. 한문을 잘 모르는 세대에게 한문으로 만들어진 용어를 강제하는 것이 바람직한지 생각해 봐야 하고, 그 이후에 영어로 된 교재를 봤을 때 혼동이 생기지 않을지 염려스럽습니다!!
두 조건 \(p, q\)에 대하여 '\(p\)이면 \(q\)이다.'의 꼴로 명제를 만들었습니다. 여기서 \(p\)를 전제, \(q\)를 결론이라고 하며, 다음 꼴로 나타냅니다.
\(\quad\)\(p\longrightarrow q\)
여기서 전제과 결론의 위치를 바꾼 명제를 원래 명제의 역이라고 합니다.
전제과 결론을 각각 부정한 명제를 원래 명제의 이라고 합니다.
전제과 결론을 각각 부정하고, 위치를 바꾼 명제를 원래 명제의 대우라고 합니다.
조건 \(p,q\)의 진리집합을 각각 \(P,Q\)라고 했을 때, \(P \subset Q\)이면, \(p\Longrightarrow q\)입니다.
또한 집합의 연산에서 \(P \subset Q\)를 만족하면, \(Q^c \subset P^c\)을 만족합니다. 여기서 \(Q^c \subset P^c\)는 \(\sim\! q \Longrightarrow \sim\! q\)를 의미합니다.
즉, 원래 명제가 참일 때에는 그 대우 명제가 참이고, 원래 명제가 거짓이면 그 대우 명제가 거짓임을 알 수 있습니다.
반면에 \(P \subset Q\)를 만족한다고 해서, \(Q \subset P\)를 만족하는지는 알 수가 없습니다. 그러므로 원래 명제의 진리값으로 역 명제의 진리값을 알 수는 없습니다.
삼단논법
여기서 다루어지는 것은 정언적 삼단논법입니다.
세 조건 \(p, q, r\)에 대하여 다음의 논리가 성립합니다.
\(\quad\)\(p \implies q\) 이고 \(q \implies r\) 이면 \( p \implies r\)
즉, 세 조건 \(p, q, r\)의 진리집합을 각각 \(P, Q, R\)이라 할 때, 다음의 집합관계가 성립합니다.
\(\quad\)\(P \subset Q\) 이고 \(Q \subset R\) 이면 \(P \subset R\)
