조건 명제 '\(p\)이면 \(q\)'에서, \(p\)는 가정이고 \(q\)은 결론입니다. 이 명제가 참이 되었을 때, 기호로 \(p \implies q\)이라고 나타냅니다.
이럴 경우에, \(q\)는 \(p\)이기 위한 필요조건이라고 부릅니다. \(p\)가 참이 되려면, \(q\)은 반드시 참이어야 합니다. 반면에, \(q\)이 거짓이면, \(p\)도 반드시 거짓입니다. 예를 들어 '자연수이면 정수이다'에서 정수는 자연수이기 위한 필요조건입니다. 어떤 숫자가 자연수가 되려면, 먼저 정수조건부터 만족해야 합니다. 또한, 정수가 아니면, 자연수는 당연히 아닙니다.
반면에, \(p\)는 \(q\)이기 위한 충본조건이라고 부릅니다. 만약 \(p\)가 참이면, 반드시 \(q\)도 참이어야 합니다. 그러나 \(q\)이 참이라고 해서 \(p\)의 참, 거짓을 모르는 경우입니다. 즉, 다른 말로는 '\(p\)는 \(q\)을 보증한다'라고 합니다. 예를 들어, '자연수이면 정수이다'에서 자연수는 정수이기 위한 충분조건입니다. 자연수이면 반드시 정수입니다. 그러나 정수라고 해서 자연수인지는 알 수 없습니다.
필요충분조건은 '\(p\)이면 \(q\)'이 참이 되고, '\(q\)이면 \(p\)'도 동시에 참이 되는 경우입니다. 즉, \(p\)는 \(q\)이기 위한 충분조건이고, \(p\)는 \(q\)이기 위한 필요조건이 동시에 만족하는 경우입니다. 이때 ''\(p\)는 \(q\)이기 위한 필요충분조건''이라고 표현합니다. 기호로는 \(p \Longleftrightarrow q\)으로 나타냅니다. 이에 대한 진리표는 다음과 같습니다.
| \(p\) | \(q\) | \(p \Longrightarrow q\) | \(p \Longleftarrow q\) | \(p \Longleftrightarrow q\) |
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | T | T |
필요조건
\(p\)가 \(q\)이기 위한 필요조건이라는 말은 \(q\)가 참이 아니면 \(p\)는 참일 수 없다 또는 \(q\)가 거짓이면 \(p\)도 반드시 거짓이다와 동등한 의미를 가집니다.
- 2보다 큰 숫자에서 홀수라는 것은 소수가 되기 위한 필요조건입니다.
- 번개가 치고나면 천둥소리가 들립니다. 그렇기 때문에 천둥소리를 듣는 것은 번개가 치기 위한 필요조건입니다.
- 25살이 넘으면 국회의원이 될 수 있습니다. 국회의원이 되려는 것은 25살이 넘어야 할 필요조건입니다.
충분조건
\(p\)가 \(q\)이기 위한 충분조건이라는 말은 ''\(p\)가 참임을 알면 \(q\)가 사실이라고 결론 내릴 수 있습니다''와 동등한 의미를 가집니다.
- "세종대왕은 왕이다"라는 것은 세종대왕이 남자라는 의미입니다. 세종대왕이 왕이라는 것은 세종대왕이 남자라는 것을 알기에 충분조건입니다.
- 어떤 숫자가 4로 나누어진다는 것은 짝수이기 위한 충분조건입니다. 반면에 2로 나누어지는 것은 짝수이기 위한 필요충분조건입니다.
- 천둥소리를 들었다면, 번개를 보았을 것이다. 천둥소리를 들었다는 것은 이전에 번개를 보았을 충분조건입니다.
기억해 둘 만한 것
필요조건, 충분조건이 위의 문장을 읽고 잘 이해가 되지 않을 수도 있습니다. 그럴 경우에는 다음과 같이 사고하는 것이 좋습니다.
우선, 조건의 진리집합을 구할 수 있을 때에는 포함 관계(부분 집합)가 있는지 확인을 합니다. 포함 관계가 없을 때에는 필요조건, 충분조건을 따질 필요 없이, 아무 조건도 아닙니다.
포함 관계가 있을 때에는 다음과 같이 구별합니다.
\(\quad\)\(P=Q\)이면, 필요충분조건입니다.
\(\quad\)\(P\subset Q\)이면, \(q\)는 \(p\)이기 위한 필요조건이고 \(p\)는 \(q\)이기 위한 충분조건입니다.
진리집합을 구할 수 없을 때에는 각각의 명제 자체의 진리값을 구해야 합니다.
\(\quad\)\(p\implies q\;\text{and}\; q\Rightarrow p\)이면, 필요충분조건입니다.
\(\quad\)\(p\implies q\;\text{and}\; q\not\Rightarrow p\)이면, \(q\)는 \(p\)이기 위한 필요조건이고 \(p\)는 \(q\)이기 위한 충분조건입니다.
