명제(statement)는 논리학적으로 뜻이 분명한 문장을 말합니다. 즉, 어떤 문장의 '참' 또는 '거짓'을 분명히 판단할 수 있을 때에 명제라고 합니다. 예를 들어,
- 닭은 동물이다. ⋯ (1)
- \(6 \times 2 = 15\)이다. ⋯ (2)
- 재즈 음악은 아름답다. ⋯ (3)
- \(x + 3 = 7\) 이다. ⋯ (4)
문장 (1)은 참, (2)는 거짓인 명제입니다. 그러나, 문장 (3), (4)는 참, 거짓을 판단할 수 없으므로 명제가 아닙니다.
명제의 부정
참인 명제 '닭은 동물이다.'의 부정은 '닭은 동물이 아니다.'입니다.
일반적으로 명제 \(p\)에 대하여 '\(p\)가 아니다.'를 명제 \(p\)의 부정이라 하고, 이것을 기호로 \(\sim\! p\)로 나타냅니다.
이때, 명제 \(p\)가 참이면 \(\sim\!p\)는 거짓이고, \(p\)가 거짓이면 \(\sim\! p\)는 참입니다.
그리고 \(\sim\! p\)의 부정은 \(p\)입니다. 즉, \(\sim\! (\sim\! p)=p\)입니다.
조건
참, 거짓을 판단할 수 있는 명제와는 달리,
\(\quad\)\(x + 3 = 7\)이다.
와 같은 문장은 \(x=4\)이면 참이고, \(x=5\)이면 거짓입니다. 이와 같이 변수 \(x\)를 포함하는 문장이 \(x\)의 값에 따라 참, 거짓이 판별될 때, 이 문장을 조건이라고 합니다. 일반적으로 \(p(x), q(x), \cdots\) 등으로 나타냅니다.
전체 집합 \(U\)에서 조건 \(p(x)\)에 대하여 집합 \(U\)의 원소 중에서 조건 \(p(x)\)를 참이 되게 하는 원소의 집합을 조건 \(p(x)\)의 진리집합이라고 합니다.
또한, 조건 \(p(x)\)의 진리집합을 \(P\)라 할 때, 조건의 부정 \(\sim\! p(x)\)의 진리집합은 \(P^c\)입니다.
두 조건 \(p, q\)의 진리집합을 각각 \(P,Q\)라고 하면, 다음과 같은 특징이 있습니다.
\(\quad\)조건 '\(p\) 또는 \(q\)'의 진리집합 \(\Rightarrow P \cup Q\)
\(\quad\)조건 '\(p\) 이고 \(q\)'의 진리집합 \(\Rightarrow P \cap Q\)
또한, 드모르간의 법칙에 의해서 '또는'과 '이고'로 연결되는 조건의 부정은 다음과 같습니다.
\(\quad\)조건 '\(p\) 또는 \(q\)'의 부정 \(\Rightarrow\) '\(\sim\! p\) 이고 \(\sim\! q\)'
\(\quad\)조건 '\(p\) 이고 \(q\)'의 부정 \(\Rightarrow\) '\(\sim\! p\) 또는 \(\sim\! q\)'
조건 명제
조건 자체는 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아닙니다. 그러나 두 조건 \(p, q\)에 대하여 '\(p\)이면 \(q\)이다.'의 꼴로 명제(조건 명제)를 만들 수 있습니다.
예를 들어
\(\quad\)\(p\): \(x\)는 4의 양의 약수이다.
\(\quad\)\(q\): \(x\)는 8의 양의 약수이다.
라 할 때, \(p, q\)는 각각 조건이지만,
\(\quad\)'\(x\)는 4의 양의 약수이면 \(x\)는 8의 양의 약수이다.'
는 참이라고 판별할 수 있기 때문에 명제입니다. 이것을 기호로 다음과 같이 나타냅니다.
\(\quad\)\(p\longrightarrow q\)
여기서 \(p\)를 가정, \(q\)를 결론이라고 합니다.
두 조건 \(p, q\)에 대하여
\(\quad\)명제 \(p\longrightarrow q\)가 참일 때, 기호 \(p\Rightarrow q\)로 나타냅니다.
\(\quad\)명제 \(p\longrightarrow q\)가 거짓일 때, 기호 \(p\not\Rightarrow q\)로 나타냅니다.
두 조건을 연결해서 명제를 만들었을 때, 언제 참이 될까요?
일반적으로 명제 \(p\longrightarrow q\)는 조건 \(p\)가 성립할 때 조건 \(q\)가 성립하면 참입니다. 즉, 조건 \(p\)의 진리집합 \(P\)의 모든 원소가 조건 \(q\)의 진리집합 \(Q\)에 속할 때 참입니다(\(P\subset Q\)). 예를 들어 다음 명제는 참입니다.
\(\quad\)'\(x\)는 4의 양의 약수이면 \(x\)는 8의 양의 약수이다.'
\(\quad\)\(\{1,2,4\} \subset \{1,2,4,8\}\)
모든/어떤
조건은 미지수 \(x\)를 포함하고 있어, '참', '거짓'을 판별할 수 없으므로 명제가 아닙니다. 그러나, 조건 \(p(x)\) 앞에 '모든' 또는 '어떤'이라는 단서가 있으면 참, 거짓을 판별할 수 있으므로 명제가 될 수 있습니다:
모든 \(x\)에 대하여 \(p(x)\)는 전체집합에 있는 모든 원소가 조건 \(p(x)\)를 만족시키면 참입니다. 반면에 어떤 \(x\)에 대하여 \(p(x)\)는 전체집합에 있는 1개의 원소라도 조건 \(p(x)\)를 만족하면 참입니다.
한편, '모든' 또는 '어떤'이 들어있는 명제의 부정은 다음과 같습니다.
\(\quad\)'모든 \(x\)에 대하여 \(p(x)\)'의 부정 \(\Rightarrow\) '어떤 \(x\)에 대하여 \(\sim\! p(x)\)'
\(\quad\)'어떤 \(x\)에 대하여 \(p(x)\)'의 부정 \(\Rightarrow\) '모든 \(x\)에 대하여 \(\sim\! p(x)\)'
