두 원
\(x^2+(y-2)^2=4,\;(x-10)^2+(y+3)^2=9\)
에 공통내접선을 그었을 때, 그 기울기가 \(\frac{q}{p}\)이었다. 이때, \(p^2+q^2\)의 값을 구하시오. (단, \(\frac{q}{p}\)는 0이 아닌 기약분수이다.)
해설: 두 축 위에 원의 중심이 있는 두 원에 대해, 공통외접선과 공통내접선의 방정식을 구하는 것에 대해 이미 알아보았습니다. 이제 두 원이 축에 접하는 경우에 대해 공통내접선을 구하는 문제에 대해 알아보고자 합니다.
먼저, 두 삼각형 \(\mathrm{AMO}\), \(\mathrm{ANB}\)은 닮은 삼각형입니다. 그의 길이비가 2:3이므로, \(\mathrm{A}(4,0)\)입니다.
그런 다음, 삼각형 \(\mathrm{ACO}\)에서 선분 \(\mathrm{AM}\)은 \(\angle\mathrm{A}\)를 이등분합니다. 그러므로,
\(\quad \mathrm{AO}:\mathrm{AC}=\mathrm{OM}:\mathrm{CM}\)
\(\quad 4:\mathrm{AC}=2:\mathrm{CM}\)
이것으로부터, \(\mathrm{CM}=k\)로 두면, \(\mathrm{AC}=2k\)입니다.
또한, 삼각형 \(\mathrm{ACO}\)는 직각삼각형이므로,
\(\quad (2k)^2=4^2+(k+2)^2\)
\(\quad 3k^2-4k-20=0\)
이때, \(k>0\)이므로, \(k=\frac{10}{3}\)입니다.
따라서, 기울기는
\(\quad\displaystyle -\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}}=-\frac{\frac{16}{3}}{4}=-\frac{4}{3}\)
이며, \(p^2+q^2=25\)입니다.
다른 풀이) 점과 직선 사이의 거리를 이용해서 접근할 수도 있습니다.
먼저, 비례 관계로부터, \(\mathrm{A}(4,0)\)임을 계산합니다.
그런 다음 직선의 방정식은
\(\quad\displaystyle y=m(x-4)\)
로 두고, 원의 중심으로부터 접점까지의 거리가 반지름과 같은 식 2개를 만듭니다.
\(\quad\displaystyle mx-y-4m=0\;\;(0,2)\)
\(\quad\displaystyle \frac{|-2-4m|}{\sqrt{m^2+1}}=2\)
\(\quad\displaystyle |4m+2|=2\sqrt{m^2+1}\)
양쪽 변을 제곱한 후, 정리하면,
\(\quad\displaystyle 12m^2+16m=0\)
여기서 \(m=0\)은 문제의 조건에 맞지 않으므로, \(m=-\frac{4}{3}\)입니다.
다른 풀이) 만약 비례 관계로부터 \(\mathrm{A}\)의 좌표를 구할 수 없으면, 점과 직선 사이의 거리를 2개 이용해서 연립방정식을 풀어야 합니다. 이때, 위의 두 방법보다 계산이 가장 많기 때문에, 좋은 방법은 아닙니다.
접선의 방정식을 \(y=mx+n\)이라 두면,
\(\quad\displaystyle mx-y+n=0\;\;(0,2)\)
\(\quad\displaystyle \frac{|-2+n|}{\sqrt{m^2+1}}=2\cdots(1)\)
\(\quad\displaystyle mx-y+n=0\;\;(10,-3)\)
\(\quad\displaystyle \frac{|10m+3+n|}{\sqrt{m^2+1}}=3\cdots(2)\)
식 (1), (2)의 연립방정식을 풀어서 해결할 수 있습니다.
