\(x\)에 대한 방정식 \(\left|\frac{1}{2}x^2-4x+3\right|-k=0\)이 서로 다른 세 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 가질 때, 정수 \(k\)의 값을 구하면?
해설: 이 문제는 그래프적 접근의 유용성을 잘 보여 줍니다. 대수적 해를 소개하고, 그래프적 접근 방법을 소개하고자 합니다.
먼저 대수적으로 풀기 위해,
\(\quad \left|\frac{1}{2}x^2-4x+3\right|=k\)
에서, 왼쪽 변의 절댓값이 비-음의 값이므로, 오른쪽의 \(k\)도 비-음의 값을 가집니다.
양쪽 변을 제곱하고, 인수분해하고, 양변에 4를 곱하면,
\(\quad \left(\frac{1}{2}x^2-4x+3\right)^2=k^2\)
\(\quad \left(\frac{1}{2}x^2-4x+3\right)^2-k^2=0\)
\(\quad \left(\frac{1}{2}x^2-4x+3+k\right)\left(\frac{1}{2}x^2-4x+3-k\right)=0\)
\(\quad \left(x^2-8x+6+2k\right)\left(x^2-8x+6-2k\right)=0\)
그러므로,
\(\quad x^2-8x+6+2k=0\cdots(1)\) 또는
\(\quad x^2-8x+6-2k=0\cdots(2)\)
모두 4개의 근을 가져야 하기 때문에, 각각, 서로 다른 2개의 근을 가져야 하므로,
\(\quad D_1/4=64-24-8k>0,\;D_2/4=64-24+8k>0\)
\(\quad k<5, k>-5\)
또한, \(k\)는 비-음이므로,
\(\quad 0 \le k < 5\cdots(3)\)
한편, 양의 실근 3개, 음의 실근 1개를 갖기 위해, 양수 두 개의 근은 곱은 양수, 양수 1개와 음수 1개의 근의 곱은 음수를 가져야 합니다.
식 (1)에서 두 근의 곱 \(6+2k\)는 항상 양수이기 때문에 무조건 두 개의 양수 근을 가집니다. 식 (2)에서 양수 1개와 음수 1개의 근을 가져야 하기 때문에,
\(\quad 6-2k<0\cdots(4)\)
따라서, 식 (3)과 (4)로부터 \(k=4\)입니다.
이렇게 해를 구하고 나니, 인수분해, 이차방정식의 판별식, 이차방정식의 근의 부호 등을 알아야 정확히 답을 구할 수 있습니다.
다른 풀이) 그래프로 접근하게 되면,
\(\quad \left|\frac{1}{2}x^2-4x+3\right|=k\)
를 다음과 같이 나누면,
\(\quad y=\left|\frac{1}{2}x^2-4x+3\right|\cdots(1)\)
\(\quad y=k\cdots(2)\)
두 그래프의 교점의 \(x\)-좌표가 양수가 3개 음수가 1개 나오도록 그래프가 그려져야 합니다.
식 (1)의 그래프를 그리기 위해, 다음 그래프를 먼저 그립니다.
\(\quad y=\frac{1}{2}x^2-4x+3\cdots(3)\)
위에서 설명한 것처럼, 식 (3)의 그래프에서 \(x\)-축 위의 그래프는 그대로 두고, \(x\)-축 아래의 그래프를 \(x\)-축에 대칭이동한 것이 식 (1)의 그래프입니다.
따라서, \(y=k\)와 양수에서 3개의 교점을 가지고, 음수에서 1개의 교점을 가지는 정수는 4입니다.
좀 더 살펴보면, 중복 근을 1개로 세어서,
- 서로 다른 3개의 근을 갖는 경우: \(k=5\)
- 서로 다른 2개의 근을 갖는 경우: \(k=0\) 또는 \(k>5\)
- 서로 다른 4개의 근을 갖는 경우: \(0<k<5\)
와 같이 여러가지 형태로 응용이 가능합니다.
