(고등학교) 군수열

예를 들어, 다음과 같은 수열을 생각해 보겠습니다.

$$$1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,\cdots$

이 수열은 규칙이 잘 보이지 않을 수도 있습니다. 그러나, 다음과 같이 나누어서 생각해 보십시오.

$$$(1),(1,2),(1,2,3),(1,2,3,4),(1,2,\cdots$

주어진 수열은 규칙이 잘 보이지 않지만, 나누어진 수열은 쉽게 상상이 됩니다. 이제 새롭게 나누어진 수열을 군수열이라고 부르고, 원래 수열과의 관계를 알아보려 합니다.

먼저, 원래 수열의 100항은 무슨 숫자일까요?

군수열의 규칙은 괄호로 묶은 각각을 앞에서부터 1군, 2군, 등으로 이름 붙이고, 군 내부에서 항은 (1군 1항), (2군 1항, 2군 2항), 등으로 생각할 수 있습니다. 여기서는 군 내부의 항이 군 내부에서 항의 값입니다. 예를 들어, 원래 수열의 9번째 항은 3군까지의 항의 개수의 합이 6이고 4군까지 항의 개수의 합은 10이므로, 4군에 속합니다. 따라서 3군까지 항의 개수가 6이므로 원래 수열의 9번째 항은 9-6=3입니다.

어쨌든, 원래 수열의 100번째 항을 구하려면, 100번째 항이 몇 군에 속한지를 알아야 합니다.

원래 수열에 대해 군으로 나누어진 방법에서 그의 개수는 다음과 같습니다.

$$$1,2,3,4,5,\cdots$

그러므로 $n$군까지의 항의 개수는 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}$입니다. $n$에 적당한 값을 대입하면, 예를 들어, $n=10$이면, 55이고, $n=13$이면, 91이고, 다음 군은 14개의 항을 가지므로, 105입니다. 원래 수열의 105번째 항은 14입니다. 100번째 항은 뒤에서 5번 아래이므로 14-5=9라고 생각하거나, 또는 13군의 끝이 91번째이므로 9를 더해야 100이므로 9입니다.

결국, 이런 식의 사고는 항의 개수가 규칙을 가져야 가능합니다. 즉, 군수열은 원래 수열의 항을 규칙적으로 나누어서 새로운 수열의 규칙을 발견하는 것입니다.

분수형

수열 $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{4}{5},\frac{3}{5},\frac{2}{5},\frac{1}{5},\cdots$에 대해 생각해 보십시오.

이 수열은 규칙이 잘 보이지 않을 수 있지만, 5번째를 $\frac{2}{4}$로 바꾸어서 생각하면, 다음과 같이 나누어서 생각하는 것이 편합니다. 

$$$\left(\frac{1}{2}\right),(\frac{2}{3},\frac{1}{3}),(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}),(\frac{4}{5},\frac{3}{5},\frac{2}{5},\frac{1}{5}),\cdots$

이 수열도 항의 개수가 위의 예제와 동일합니다. 그리고 군은 분모보다 1작습니다. 그래서 원래 수열의 100번째 항은 14군이므로 분모가 15입니다. 그리고 14군의 마지막이 105번째이므로 아래로 5번 내려옵니다. 모든 군의 끝항의 분자는 항상 1이므로, 100번째 항의 분자는 5입니다. 따라서 $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$이 100번째 항입니다.

한편, $\frac{3}{20}$은 원래 수열에서 몇 번째 항일까요? 먼저 분모가 20이므로 군은 19군에 속합니다. 그리고 분자가 3이므로 19군의 마지막 항에서 아래로 3번째 항이므로 2을 빼줍니다. 즉 19군의 마지막 항은 $\frac{19\cdot 20}{2}=190$번째이므로 190-2=188번째 항입니다.

응용예제

응용예제1

다음 수열에서 ${\displaystyle \frac{3}{15}}$은 몇 번째 항인가?

$$${\displaystyle \frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{1}{2},\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{1},\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\cdots }$