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(번역) Quotient

다움위키 2024. 3. 25. 00:24
Original article: w:Quotient

 

산술(arithmetic)에서, 몫(quotient) (Latin: quotiens으로부터 "얼마나 많은 횟수", /ˈkwoʊʃənt/로 발음됨)은 두 숫자의 나눗셈(division)에 의해 생성된 양입니다. 몫은 수학 전체에서 널리 사용되고, 공통적으로 분수(fraction) 또는 비율(ratio)로 참조됩니다. 예를 들어, 이십 (나누어지는 수)을 삼 (나누는 수)으로 나누면 몫은 육과 삼분의 이입니다. 이런 의미에서, 몫은 나누는 수에 대한 나누어지는 수의 비율입니다.

Notation

몫은, 수평 선분으로 나누는, 두 숫자, 또는 두 변수로 가장 자주 마주칩니다. 단어 "나누어지는 숫자" 및 "나누는 숫자"는 각각의 개별적인 부분을 참조하며, 반면에 단어 "몫"은 전체를 참조합니다.

\(\quad\displaystyle 
\dfrac{1}{2} \quad
\begin{align} 
& \leftarrow \text{dividend  or  numerator} \\ 
& \leftarrow \text{divisor  or  denominator} 
\end{align}
\Biggr \} \leftarrow \text{quotient}
\)

Integer part definition

몫은 나머지(remainder)가 음수가 되는 것없이 나누어지는 숫자에서 나누는 숫자를 뺄 수 있는 최대 자연수(whole number)의 횟수로 역시 덜 공통적으로 정의됩니다. 예를 들어, 나누는 숫자 3은 나머지가 음수가 되기 전에 나누어지는 숫자 20에서 6 횟수까지 뺄 수 있습니다:

\(\quad 20 -3 -3 -3 -3 -3 -3 \ge 0\),

반면에,

\(\quad 20 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 < 0\).

이 의미에서, 몫은 두 숫자의 비율의 정수 부분(integer part)입니다.

Quotient of two integers

유리수(rational number)의 정의는 (분모가 영이 아닌 한) 두 정수(integer)의 몫입니다.

보다 공식적인 정의:

  • 실수 r이 유리수인 것과 그것이 비-영 분모를 가진 두 정수의 몫으로 표현될 수 있는 것은 필요충분 조건입니다.

훨씬 더 공식적으로: 

  • 만약 r이 실수이면, r이 유리수입니다 ⇔ \(\displaystyle r = \frac a b\)와  \(\displaystyle b \neq 0\)를 만족하는 어떤 정수 a와 b가 존재합니다.

무리수–두 정수의 몫이 아닌 숫자–의 존재는 변에 대한 정사각형의 대각선의 비율로 그런 것에서 기하학에서 처음으로 발견되었습니다.

More general quotients

산술 이외의, 많은 수학 분야는 더 큰 구조를 조각으로 부숨으로써 만들어진 구조를 설명하기 위해 단어 "몫"을 빌려 왔습니다. 그것 위에 정의된 동치 관계(equivalence relation)를 가진 집합(set)이 주어지면, "몫 집합(quotient set)"은 그들의 동치 클래스를 요소로 포함하는 것에서 생성될 수 있을 것입니다. 몫 그룹(quotient group)은 그룹(group)을 다수의 유사한 코셋으로 부숨으로써 형성될 수 있을 것이며, 반면에 몫 공간(quotient space)은 벡터 공간(vector space)을 다수의 유사한 선형 부분공간(linear subspace)으로 부숨으로써 비슷한 과정에서 형성될 수 있을 것입니다.

See also