(중학교) 이차함수의 평행이동

이차함수에서 거의 유일한 특징 점은 꼭짓점이고, 꼭짓점의 $x$-좌표가 대칭축이 됩니다. 

따라서, 대부분의 이차함수는 꼭짓점으로부터 생각을 시작하면 편리한 경우가 많습니다. 

이제 이차함수에서 일차항의 계수 $b$와 상수항 $c$의 변화에 따른 그래프를 알아볼 차례입니다. 

이때, 그 값을 직접 바꾸어서 그래프를 그려보는 것은 잘 이해가 되지 않을 수 있습니다. 

그런 방법보다는 기본 그래프를 평행이동함으로써 만들어지는 이차함수에서 어떤 계수가 바뀌는지를 확인해서 역으로 계수의 역할을 확인하는 것이 쉽습니다. 

먼저, 기본 그래프 $y=x^2$를 $y$-축 방향으로 2만큼 평행이동시켜 보십시오.

그림처럼, 그래프의 방정식은 평행이동에 의해 아래와 같이 구해집니다:

$$$y-2=x^2$ => $y=x^2+2$

이 경우에서, 꼭짓점은 (0,0)에서 (0,2)로 이동하게 됩니다.

반면에, 기본 그래프 $y=x^2$를 $x$-축 방향으로 3만큼 평행이동시켜 보십시오.

그림처럼, 그래프의 방정식은 평행이동에 의해 아래와 같이 구해집니다:

$$$y=(x-3{)}^2$

이 경우에서, 꼭짓점은 (0,0)에서 (3,0)으로 이동하게 됩니다.

이제, 위의 두 경우를 함께 생각해서, 꼭짓점을 (0,0)에서 (3,2)로 이동, 즉, $x$-축 방향으로 3과 $y$-축 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프는 아래와 같이 구해집니다:

$$$y-2=(x-3{)}^2$ => $y=(x-3{)}^2+2$

이 결과로부터, 기본 그래프는 평행이동으로부터 좌표평면 위의 임의의 위치로 이동시킬 수 있습니다. 

즉, 기본 그래프 $y=x^2$를 $x$-축 방향으로 $p$와 $y$-축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 그래프는 다음과 같이 구해집니다:

$$$y-q=(x-p{)}^2$ => $y=(x-p{)}^2+q$

한편, 이차항의 계수가 1이 아니고 원점에 꼭짓점을 둔 그래프를 $y=a{x}^2$를 $x$-축 방향으로 $p$와 $y$-축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 그래프는 다음과 같이 구해집니다:

$$$y-q=a(x-p{)}^2$ => $y=a(x-p{)}^2+q$

이 결과로부터 모든 이차함수는 위의 꼴로 바꿀 수 있음을 의미합니다. 즉, 그래프의 모양은 $a$로 결정하고, 꼭짓점의 위치를 결정함으로써, 좌표평면 위에 임의의 이차함수를 그릴 수 있습니다.