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수학

(중학교) 이차함수의 일반 그래프

by 다움위키 2023. 11. 8.

이차함수의 일반적인 꼴은 y=ax2+bx+c로 주어집니다. 이제 이 그래프를 그리는 방법에 대해 알아보고자 합니다. 

이미 이차함수의 평행이동에서, 임의의 이차함수는 이차항의 계수 a와 꼭짓점의 위치 (p,q)로 나타낼 수 있음을 알아보았습니다.

이것은 위의 일반꼴을 꼭짓점을 가지는 꼴로 바꿈으로써, 일반적인 꼴의 이차함수를 그릴 수 있음을 의미합니다.

따라서, 이차함수의 세 개의 계수, a,b,c가 주어졌을 때, 그것으로부터 꼭짓점을 구하는 과정이 필요합니다. 

이것과 비슷한 과정이 이미 이차방정식의 근의 공식에서 다루어졌습니다. 단지 차이는 한쪽 변이 0인지 y인지 차이가 납니다.

일반적인 이차함수는, 어쨌든, 완전제곱식남은 상수로 표현이 되어야 합니다. 

예를 들어, y=x22x+3의 그래프는 꼭짓점을 구하기 위해 완전제곱식과 남은 상수를 알아야 합니다.

  • y=x22x+11+3 : 여기서 숫자 1은 이차항의 계수가 1일 때, 일차 항, −2의 절반, −1의 제곱에 해당합니다.
  • y=(x1)2+2

이 그래프는 y=x2의 그래프를 x-축으로 1만큼, y-축으로 2만큼 평행이동한 그래프입니다.

다른 한편으로, 기본 그래프가 아닌 보다 일반적인 그래프를 이동할 수 있어야 합니다. 예를 들어, y=2x28x+3의 그래프를 그리기 위해, 아래의 과정을 거칩니다:

  • y=2(x24x)+3 : 이차항의 계수를 1로 만들기 위해 그 숫자로 이차항과 일차항을 묶습니다.
  • y=2(x24x+44)+3 : 이제 위의 예제와 같은 상황이므로, 일차항의 절반의 제곱을 더하고 뺍니다.
  • y=2(x2)28+3 : 앞의 4는 완전제곱식에 포함하고, 뒤의 −4는 분배법칙으로 전개해서 괄호 밖으로 씁니다.
  • y=2(x2)25

이 그래프는 y=2x2x-축으로 2만큼, y-축으로 −5만큼 평행이동한 그래프입니다.
한편, 이 과정에서, y-축으로 평행이동의 양은 꼭짓점의 x-좌표를 원래 방정식에 대입함으로써 구해질 수 있습니다. 즉, 아래와 같이 수정된 방법을 이용하는 것이 유용할 수 있습니다:

  • y=2x28x+3(1)
  • y=2(x24x+)+3
  • y=2(x2)2+

이 과정은 단지 꼭짓점의 x-좌표를 구하는 것에 초점을 맞추고, 꼭짓점의 y-좌표는 반드시 그래프 위에 존재해야 하므로, 식 (1)을 만족해야 함을 이용합니다:

  • y=2(2)28(2)+3=5

결국, 나머지 귀찮은 것들을 전부 제외하고, 꼭짓점의 x-좌표를 구하면, 꼭짓점의 y-좌표는 대입을 통해 쉽게 구할 수 있습니다.

이제, 일반적인 y=ax2+bx+c에 대해 위의 과정을 적용하면,

  • y=ax2+bx+c
  • y=a(x2+bax+)+c
  • y=a(x+b2a)2+

결과로부터, 꼭짓점의 x-좌표는 x=b2a이고, 꼭짓점의 y-좌표는 대입해서 구할 수 있습니다. 하지만, 이것을 대입해서, 꼭짓점의 y-좌표를 구해야 하지만, 실제로는 숫자를 대입할 것이기 때문에, 이 과정은 크게 필요하지 않습니다. 

어쨌든, y-좌표를 대입해서 전혀 암기할 필요가 없고, 단지, x-좌표를 암기할 필요는 있습니다.