그리스 사람 중에 아리스토텔레스와 플라톤 등은 고대 그리스에 살았던 사람들이고, 같은 시기에 수학자들은 직선자와 컴퍼스를 사용하여 특정 기하학적 구성이 가능한지를 고민했습니다.
이때, 사용되는 직선자와 컴퍼스는 다음 특징이 있습니다:
- 직선자는 무한하게 길지만, 그것 위에 표시를 가지지 않고 보통의 자와 달리 오직 하나의 똑바른 가장자리를 가집니다. 그려진 직선은 측정할 수 없는 정도의 아주 얇은 점-너비입니다. 그것은 오직 두 점 사이에 무한 정밀도로 선분을 그리거나, 기존 선분을 확장하기 위해 사용될 수 있습니다.
- 컴퍼스는 임의적인 너비로 벌려질 수 있지만, 그것 위에 표시가 없습니다. 원은 오직 둘의 주어진 점: 중심과 원의 한 점에서 시작하여 무한 정밀도로 해당 점에 맞춰 그려질 수 있습니다. 그려진 호는 측정할 수 없는 정도의 아주 얇은 점-너비입니다.
이제, 삼각형을 그려볼 텐데, 단지 삼각형의 정의에 맞는 임의의 형태를 만들려는 의도가 아니라, 구성이라는 것은 정해진 형태, 예를 들어, 등변 삼각형, 밑각이 70도인 이등변 삼각형 등을 직선자와 컴퍼스를 이용해서 그려야 함을 의미합니다.
이 과정을 알아보기 위해, 예를 들어, 다른 사람이 만들어 놓은 것과 똑같은 삼각형을 구성하기 위해, 삼각형의 한 변을 이루는 선분을 똑같이 구성하는 방법과 알아보고자 합니다.
선분 구성하기
일정 길이를 갖는 선분 AB가 주어졌을 때, 이것과 같은 길이를 갖는 선분 CD는 어떻게 구성할까요?
이 과정은 단순해서 다음과 같이 구성할 수 있습니다:
- 자를 사용하여 직선을 그립니다.
- 직선 위의 한 점에 C를 표시합니다.
- 컴퍼스를 사용하여 선분 AB의 길이를 측정합니다.
- 컴퍼스 한 쪽 다리에 C를 위치시키고 원을 그립니다. 이때, 반지름은 AB의 길이입니다.
- 직선과 두 점에서 만나는데, 그중 하나에 D를 표시합니다.
이런 의문이 들 수 있습니다. 그냥, 자로 AB의 길이를 측정해서 자로 선분을 그리면 될 듯 보이지만, 자는 눈금이 없기 때문에, 선분 AB의 길이를 측정할 수 없습니다. 따라서, 길이는 컴퍼스를 통해서 측정되어야 합니다.
또는, 자 위에 연필로 선분의 길이를 표시하고 그것을 옮겨도 될 듯 하지만, 자 위에 어떤 표시도 해서는 안됩니다. 즉, 위에서 주어진 자의 용도 외에 다른 용도로 자를 사용해서는 안되기 때문입니다.
각도 구성하기
삼각형의 한 내부 각도를 그리기 위해, 주어진 각도와 같은 각도를 구성해 보려고 합니다.
각도는 주어진 꼭짓점에서 둘의 광선 (반직선)이 뻗어나감으로써 하나의 각도가 만들어집니다. 이때, 꼭짓점을 \(\rm O\)로 놓고, 둘의 광선 위의 각 점을 \(\rm{A,B}\)로 놓습니다.
우리는 각도를 구성할 것이기 때문에, 위에서 필요에 의해 만들어진 꼭짓점의 위치 광선 위의 두 점은 제약 사항이 없습니다.
한편, 각도를 옮기기 위해, 우리가 사용할 수 있는 사실은, 한 원에서 같은 크기의 호에 끼인 각, 또는 같은 길이의 현에 끼인 각이 같음을 이용할 수 있습니다.
- 먼저, 이전 꼭짓점 \(\rm O\)에 해당하는 \(\rm P\)를 위치시킵니다 (한 점을 찍습니다).
- 그런-다음 점 \(\rm A\)가 놓인 광선을 그리기 위해, 자를 사용하여 \(\rm P\)에서 아무런 방향으로 광선을 그리고 그 위의 한 점에 \(\rm C\)를 표시합니다.
- 그럼-다음 컴퍼스를 사용하여 \(\rm O\)를 중심으로 주어진 각도 \(\rm{AOB}\)를 표현하도록 호를 그립니다.
- 그럼-다음 컴퍼스를 사용하여 같은 반지름으로 \(\rm P\)를 중심으로 원을 그립니다.
- 그런-다음 \(\rm O\)를 중심으로 그려진 호와 두 광선 \(\rm{OA, OB}\)와 만나는 점을 컴퍼스를 이용하여 현의 길이를 측정합니다.
- 그런-다음 이전에 그려진 원과 \(\rm{PC}\)가 만나는 점을 중심으로 직전에 측정된 현을 사용하여 새로운 원을 그립니다.
- 그런-다음 \(\rm P\)를 시작점으로 하는 두 원이 만나는 두 점 중에 하나와의 광선을 그리고 그 위의 한 점에 \(\rm D\)를 표시합니다.
각 \(\rm{CPD}\)는 각 \(\rm{AOB}\)와 같으므로, 구성이 끝났습니다.
삼각형 구성하기
삼각형은 세 변과 세 각으로 이루어집니다.
먼저, 이미 만들어져 있는 것과 같은 삼각형을 구성하는 것은 위에서 주어진 구성해 본, 선분과 각도의 구성의 조합으로 가능합니다.
- 주어진 삼각형의 한 변과 같은 선분을 구성합니다.
- 옮겨진 변의 양쪽 각도 중에 하나를 새로운 선분의 한 쪽에 구성합니다 (새로운 광선이 만들어집니다).
- 그런-다음 끼인 각도를 구성했던, 두 번째 선분의 길이를 컴퍼스로 측정해서 새로운 광선 위에 해당 위치를 찍습니다.
- 그런 다음 남은 선분을 자로 연결합니다.
세 선분이 주어진 경우
셋의 선분이 주어지면, 다음과 같이 삼각형을 구성할 수 있습니다.
- 먼저 가장 긴 선분을 구성합니다.
- 그런 다음 컴퍼스로 남은 선분 중 하나의 길이를 측정해서, 가장 긴 선분의 한 끝을 중심으로 원을 그립니다.
- 그런-다음 컴퍼스로 마지막 남은 선분의 길이를 측정해서, 가장 긴 선분의 남은 한 끝을 중심으로 원을 그립니다.
- 두 원이 만나는 두 점 중에 하나와 가장 긴 선분의 양쪽 끝을 각각 연결합니다.
이때, 두 원이 만나지 않을 수 있는데, 그런 경우는 애초에 삼각형을 구성할 수 없는 선분들로 구성되어 있습니다. 이것은 삼각형 부등식을 만족하지 않는다고 말합니다.
삼각형 부등식은 임의의 두 변의 합은 나머지 한 변의 길이보다 길다는 것입니다. 따라서, 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 합보다 작음을 만족하면, 삼각형이 구성되는데, 나머지 경우는 당연히 만족하기 때문입니다.
