직각 삼각형은 하나의 직각과 두 개의 예각으로 이루어진 삼각형입니다. 삼각비는 직각 삼각형에서 주어진 예각에 대해 두 변 사이의 비율을 참조합니다.
대부분의 교과서에서 직각 삼각형을 이루는 세 변을 빗변, 밑변, 높이로 구성하지만, 이 용어는 혼동을 초래할 가능성이 있습니다. 자세한 내용에 대해 삼각비를 참조하십시오.
여기서는 밑면과 높이라는 용어 대신에 대변과 인접변을 사용하여 삼각비를 정의할 것입니다.
삼각비의 정의에 사용되는 변의 이름은 각도에 종속적이기 때문에, 만약 \(\angle \rm A\)에 대한 삼각비를 구하려면, 그림처럼, 변의 이름을 정의합니다. 각도가 바뀌면, 변의 이름이 달라집니다.
- 빗변은 각도에 상관없이 직각 삼각형에서 가장 긴 변을 지칭합니다.
- 대변은 각도가 결정되면 마주 보는 변을 지칭합니다.
- 인접변은 빗변을 제외하고 각도를 구성하는 남은 변을 지칭합니다.
삼각비의 정의는 아래와 같습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \sin \rm A = \frac{\rm{BC}}{\rm{AC}} = \frac{\rm{대변}}{\rm{빗변}}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \cos \rm A = \frac{\rm{AB}}{\rm{AC}} = \frac{\rm{인접변}}{\rm{빗변}}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \tan \rm A = \frac{\rm{BC}}{\rm{AB}} = \frac{\rm{대변}}{\rm{인접변}}\)
만약 \(\angle \rm C\)에 대한 삼각비를 구하려면, 그림처럼, 변의 이름을 정의합니다.
삼각비의 정의는 아래와 같습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \sin \rm C = \frac{\rm{AB}}{\rm{AC}} = \frac{\rm{대변}}{\rm{빗변}}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \cos \rm C = \frac{\rm{BC}}{\rm{AC}} = \frac{\rm{인접변}}{\rm{빗변}}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \tan \rm C = \frac{\rm{AB}}{\rm{BC}} = \frac{\rm{대변}}{\rm{인접변}}\)
위의 결과를 보면, 각도의 위치에 따라, 변의 이름은 바뀌지만, 삼각비의 정의는 바뀌지 않음을 알 수 있습니다.
게다가, 예각에 대한 사인(\(\sin\))과 코사인(\(\cos\))은 빗변의 길이가 제일 길기 때문에 1보다 작음을 알 수 있습니다. 반면에 탄젠트(\(\tan\))는 예각의 크기에 따라 1보다 클 수도 있고 작을 수도 있습니다.
예제로서 그림의 삼각비를 구해 보십시오.
그림에서 빗변의 길이가 주어져 있지 않지만, 피타고라스의 정리를 만족해야 하므로, 다음 식이 성립합니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \rm{AC}^2=1^2+2^2\)
빗변의 길이는 \(\sqrt{5}\)이므로, \(\angle \rm A\)에 대한 삼각비는 다음과 같이 구해집니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \sin \rm A = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \cos \rm A = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \tan \rm A = \frac{1}{2}\)
반면에 \(\angle \rm C\)에 대한 삼각비는 다음과 같이 구해집니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \sin \rm C = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \cos \rm C = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \tan \rm C = \frac{2}{1}=2\)
한편, 삼각비의 정의 중에서 탄젠트의 정의에서, 분모와 분자를 빗변으로 나누면, 다음 관계를 만족시킵니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \tan\rm{A} = \frac{\rm{대변}}{\rm{인접변}} = \frac{\frac{\rm{대변}}{\rm{빗변}}}{\frac{\rm{인접변}}{\rm{빗변}}} = \frac{\sin \rm A}{\cos \rm A}\)
