다항식의 곱셈은 전개 과정을 통해 다른 형태로 만들어집니다.
다항식의 전개는 예를 들어, \((x-2)(x+2)+(2x-1)(x+2)\) 등과 같은 식을 더 간단히 정리하기 위해 필요합니다.
한편, 이런 전개 과정에서 자주 이용되는 것들이 있으며, 이런 것들을 곱셈 공식 또는 전개 공식이라고 합니다.
이런 전개 공식은 교환, 결합, 분배 법칙을 이용하여 결과를 도출할 수 있지만, 빠른 결과를 얻기 위한 암기를 하기도 합니다. 어쨌든, 충분히 연습이 되기 전에는 전개 과정을 꼭 확인하시기 바랍니다.
먼저, 두 항으로 이루어진 다항식의 제곱을 전개하는 과정입니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
(a+b)^2 & = (a+b)(a+b) \\
& = a^2+ab+ba+b^2 \\
& = a^2 + 2ab +b^2 \\
\end{align}\)
\(\quad\)\(\begin{align}
(a-b)^2 & = (a-b)(a-b) \\
& = a^2-ab-ba+b^2 \\
& = a^2 - 2ab +b^2 \\
\end{align}\)
두 번째 전개 결과는 첫 번째 전개를 통해 이루어질 수도 있습니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
(a-b)^2 & = (a+(-b))^2 \\
& = a^2 + 2a(-b) +(-b)^2 \\
& = a^2 - 2ab + b^2 \\
\end{align}\)
물론, 위의 두 식은 기본 형태를 말하는 것으로써, 두 항으로 이루어진 모든 식은 위의 공식으로 전개될 수 있습니다. 예를 들어, \((2x-3y)^2\)는 \(2x=a,\;3y=b\)로 놓으면, 위의 공식을 이용할 수 있습니다: 물론, 이런 변수의 변경 과정은 머릿속에서 자연스럽게 이루어질 것이므로, 이것과 같이 바꾸어서 계산하지는 않습니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
(2x-3y)^2 & = (a-b)^2 \\
& = a^2 - 2ab +b^2 \\
& = (2x)^2 - 2(2x)(3y) + (3y)^2 \\
& = 4x^2 - 12xy + 9y^2 \\
\end{align}\)
다른 형식 중에 자주 사용하는 것은 보통 합-차 공식이라고 부르는 것으로써, 다음과 같이 전개됩니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
(a+b)(a-b) & = a^2 -ab + ba -b^2 \\
& = a^2 -b^2 \\
\end{align}\)
보다 다항식에 자주 사용되는 식은 미지수 \(x,y,z\)와 상수로 사용되는 문자, \(a,b,c,\cdots\)를 함께 갖는 식으로써 다음 둘을 자주 사용합니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
(x+a)(x+b) & = x^2 + bx+ax+ab \\
& = x^2 +(a+b)x+ab \\
\end{align}\)
\(\quad\)\(\begin{align}
(ax+b)(cx+d) & = acx^2 + adx+bcx+bd \\
& = acx^2 +(ad+bc)x+bd \\
\end{align}\)
