복소 해석학(complex analysis, 수학의 한 가지)에서, 극점은 로그 함수(logarithm function)에 대해 0과 같은 본질적 특이점(essential singularities), 및 복소 제곱근 함수(square root function)에 대해 0과 같은 가지 점(branch points)과 달리 함수가 비교적 규칙적으로 동작하는 근처인, 함수의 특정 유형의 특이점(singularity)입니다.
복소 변수(complex variable) z의 함수 f는 만약 f 또는 그것의 역수(reciprocal) 함수 1/f가 \(z_0\)의 일부 이웃에서 정칙(holomorphic)이면 (즉, f 또는 1/f 가 \(z_0\)의 이웃에서 복소 미분-가능(complex differentiable)이면), 점 \(z_0\)의 이웃(neighbourhood)에서 유리형(meromorphic)입니다.
유리형 함수 f의 영점(zero)은 f(z) = 0를 만족하는 복소수 z입니다. f의 극점은 1/f 의 영점입니다.
이것은 함수 f를 역수 1/f 로 대체함으로써 얻은 영점과 극점 사이의 이중성을 유도합니다. 이 이중성은 유리형 함수 연구의 기본입니다. 예를 들어, 만약 함수가 전체 복소 평면(complex plane) 더하기 무한대에서 점(point at infinity) 위에 유리형이면, 극점의 중복도(multiplicities)의 합은 영점의 중복도의 합과 같습니다.
Definitions
복소 변수 z의 함수는 만약 그것이 U의 모든 각 점에서 z에 관한 미분-가능(differentiable)이면 열린 도메인(open domain) U에서 정칙(holomorphic)입니다. 동등하게, 그것이 해석적(analytic)이면, 즉 그것의 테일러 급수(Taylor series)가 U의 모든 각 점에 존재하면 정칙이고, 점의 일부 이웃(neighbourhood)에서 함수로 수렴합니다. 만약 U의 모든 각 점이 f 또는 1/f이 그것에서 정칙임을 만족하는 이웃을 가지면, 함수는 U에서 유리형(meromorphic)입니다.
유리형 함수 f의 영점(zero)은 f(z) = 0를 만족하는 복소수 z입니다. f의 극점은 1/f의 영점입니다.
만약 f가 복소 평면(complex plane)의 점 \(z_0\)의 이웃에서 유리형인 함수이면, 다음이 \(z_0\)의 이웃에서 정칙이고 비-영임 (이것은 해석적 속성의 결과임)을 만족하는 정수 n이 존재합니다:
\(\quad (z-z_0)^n f(z)\)
만약 n > 0이면, \(z_0\)는 f의 차수 (또는 중복도) n의 극점입니다. 만약 n < 0이면, \(z_0\)는 f의 차수 \(|n|\)의 영점입니다. 단순 영점과 단순 극점은 차수 \(|n|=1\)의 영점과 극점에 사용되는 용어입니다. Degree는 때때로 order와 동의어로 사용됩니다.
영점과 극점의 이러한 특성화는 영점과 극점이 고립되어(isolated) 있음을 의미합니다. 즉, 모든 각 영점 또는 극점은 임의의 다른 영점과 극점을 포함하지 않은 이웃을 가집니다.
영점과 극점의 차수는 비-영 숫자 n으로 정의되고 그것들 사이의 대칭 때문에, 차수 n의 극점을 차수 –n의 영점으로, 차수 n의 영점을 차수 –n의 극점으로 고려하는 것이 종종 유용합니다. 이 경우에서 극점도 영점도 아닌 점은 차수 0의 극점 (또는 영점)으로 보입니다.
유리형 함수는 무한하게 많은 영점과 극점을 가질 수 있습니다. 이것은 전체 복소 평면에서 유리형이고, 모든 각 비-양의 정수에서 단순 극점을 가지는 감마 함수(gamma function)에 대한 경우입니다 (정보 상자에서 이미지를 참조하십시오). 리만 제타 함수(Riemann zeta function)는 z = 1에서 차수 1의 단일 극점을 갖는 전체 복소 평면에서도 유리형이 됩니다. 왼쪽 절반 평면에서 그것의 영점은 모두 음의 짝수 정수이고, 리만 가설(Riemann hypothesis)은 모든 다른 영점이 Re(z) = 1/2를 따라 있다는 추측입니다.
점 \(z_0\)의 이웃에서, 비-영 유리형 함수 f는 많아야 유한 주요 부분 (음수 인덱스 값을 갖는 항)을 갖는 로랑 급수(Laurent series)의 합입니다.
\(\quad\displaystyle f(z) = \sum_{k\geq -n} a_k (z - z_0)^k,\)
여기서 n은 정수이고, \(a_{-n}\neq 0\)입니다. 다시, 만약 n > 0이면 (합은 \(a_{-|n|} (z - z_0)^{-|n|}\)으로 시작하고, 주요 부분은 n 항을 가집니다), 차수 n의 하나의 극점을 가지고, 만약 n ≤ 0이면 (합은 \(a_{|n|} (z - z_0)^{|n|}\)로 시작하고, 주요 부분은 없습니다), 차수 \(|n|\)의 하나의 영점을 가집니다.
At infinity
함수 \( z \mapsto f(z)\)는 만약 그것이 무한대의 일부 이웃 (즉, 일부 디스크 외부)에서 유리형이고 다음이 존재하고 비-영 복소수임을 만족하는 정수 {{mvar|n}}이 있으면 ''무한대에서 유리형''입니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{z\to \infty}\frac{f(z)}{z^n}\)
이 경우에서, 무한대에서 점(point at infinity)은 n > 0이면 차수 n의 극점이고 , n < 0이면 차수 \(|n|\)의 영점입니다.
예를 들어, 차수 n의 다항식(polynomial)은 무한대에서 차수 n의 극점을 가집니다.
무한대의 한 점에 의해 확장된 복소 평면(complex plane)은 리만 구(Riemann sphere)라고 불립니다.
만약 f가 전체 리만 구 위에 유리형인 함수이면, 그것은 유한 숫자의 영점과 극점을 가지고, 그것의 극점 차수의 합은 그것의 영점 차수의 합과 같습니다.
모든 각 유리 함수(rational function)는 전체 리만 구 위에 유리형이고, 이 경우에서, 영점의 또는 극점의 차수의 합은 분자와 분모 차수의 최댓값입니다.
Examples
- 다음 함수는
- \(\displaystyle f(z) = \frac{3}{z}\)
- 전체 리만 구 위에 유리형입니다. 그것은 \( z= 0\)에서 차수 1의 극점 또는 단순 극점과 무한대에서 단순 영점을 가집니다.
- 다음 함수는
- \(\displaystyle f(z) = \frac{z+2}{(z-5)^2(z+7)^3}\)
- 전체 리만 구 위에 유리형입니다. 그것은 \( z=5\)에서 차수 2의 극점을 가지고, \( z = -7\)에서 차수 3의 극점을 가집니다. 그것은 \( z=-2\)에서 단순 영점이고, 무한대에서 이차 영점을 가집니다.
- 다음 함수는
- \(\displaystyle f(z) = \frac{z-4}{e^z-1}\)
- 전체 복소 평면에서 유리형이지만, 무한대에서는 아닙니다. 그것은 \( z=2\pi ni\text{ for } n\in\mathbb Z\)에서 차수 1의 극점을 가집니다. 이것은 원점 주위에 \( e^z\)의 테일러 급수(Taylor series)를 쓺으로써 알 수 있습니다.
- 다음 함수는
- \(f(z) = z\)
- 차수 1의 무한대에서 단일 극점을 가지고, 원점에서 단일 영점을 가집니다.
세 번째를 제외한 위의 모든 예제는 유리 함수(rational functions)입니다. 그러한 함수의 영점과 극점에 대한 일반적인 논의에 대해, Pole–zero plot § Continuous-time systems을 참조하세요.
Function on a curve
영점과 극점의 개념은 복소 곡선, 즉 (복소수에 걸쳐) 차원 일의 복소 해석적 매니폴드(complex analytic manifold) 위에 함수로 자연스럽게 확장됩니다. 그러한 곡선의 가장 간단한 예는 복소 평면(complex plane)과 리만 표면(Riemann surface)입니다. 이 확장은 해석적 동형(isomorphisms)인 차트(charts)를 통해 구조와 속성을 전송함으로써 수행됩니다.
보다 정확하게, f를 복소 곡선 M에서 복소수로의 함수라고 놓습니다. 이 함수는 만약 \( f \circ \phi^{-1}\)가 \(\phi(z)\)의 이웃에서 정칙 (각각, 유리형)임을 만족하는 차트 \(\phi\)가 있으면 M의 점 z의 이웃에서 정칙 (각각, 유리형)입니다. 그런-다음, z가 만약 같은 것이 \(\phi(z)\)에 대해 참이면 차수 n의 극점 또는 영점입니다.
만약 곡선이 컴팩트이고, 함수 f가 전체 곡선 위에 유리형이며, 영점과 극점의 숫자는 유한이고, 극점의 차수의 합은 영점의 차수의 합과 같습니다. 이것은 리만–로흐 정리(Riemann–Roch theorem)와 관련된 기본 사실 중 하나입니다.
References
- Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
- Conway, John B. (1995). Functions of One Complex Variable II. Springer. ISBN 0-387-94460-5.
- Henrici, Peter (1974). Applied and Computational Complex Analysis 1. John Wiley & Sons.
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