대수학(algebra)에서 영-곱 속성(zero-product property)은 두 비-영 원소(nonzero elements)의 곱은 비-영이라고 말합니다. 다시 말해, 그것은 다음 주장입니다:
만약 \(ab = 0\)이면, \(a=0\) 또는 \(b=0\)입니다.
영-곱 속성은 영 곱의 규칙, 널 인수 법칙, 영의 곱셈 속성 또는 비-자명한 영 인수(zero divisor)의 비-존재로 역시 알려져 있습니다. 기초 수학(elementary mathematics)에서 연구된 숫자 시스템(number system)의 모두 — 정수(integer) \(\mathbb{Z}\), 유리수(rational number) \(\mathbb{Q}\), 실수(real number) \(\mathbb{R}\), 및 복소수(complex number) \(\mathbb{C}\) – 는 영-곱 속성을 만족시킵니다. 일반적으로, 영-곱 속성을 만족시키는 링(ring)은 도메인(domain)으로 불립니다.
Algebraic context
\(A\)가 대수적 구조라고 가정하십시오. 우리는 물을 수 있습니다, \(A\)는 영-곱 속성을 가집니까? 이 질문이 의미를 갖기 위해, \(A\)는 반드시 덧셈의 구조 및 곱셈의 둘 다를 가져야 합니다. 보통 우리는 \(A\)가, 비록 그것이 다른 것, 예를 들어, 보통의 덧셈 및 곱셈을 갖는, 오직 (교환-가능한) 반-링(semiring)인, 비-음의 정수 \(\{0,1,2,\ldots\}\)의 집합이 될 수 있을지라도, ring링이라고 가정합니다.
만약 \(A\)가 영-곱 속성을 만족시키면, 및 만약 \(B\)가 \(A\)의 부분집합이면, \(B\)는 영-곱 속성을 역시 만족시킨다는 것을 주목하십시오: 만약 \(a\)와 \(b\)가 \(ab=0\)을 만족하는 \(B\)의 원소이면, \(a=0\) 또는 \(b=0\) 중 하나인데 왜냐하면 \(a\)와 \(b\)는 \(A\)의 원소로 역시 여겨지기 때문입니다.
Examples
- 영-곱 속성이 유지되는 링은 도메인(domain)으로 불립니다. 곱셈의 항등(multiplicative identity) 원소를 가진 교환-가능(commutative) 도메인은 정수 도메인으로 불립니다. 임의의 필드(field)는 정수 도메인입니다; 실제로, 필드의 임의의 부분-링은 (그것이 1을 포함하는 한) 하나의 정수 도메인입니다. 비슷하게, 스큐 필드(skew field)의 임의의 부분-링은 도메인입니다. 따라서, 영-곱 속성은 스큐 필드의 임의의 부분-링에 대해 유지합니다.
- 만약 \(p\)는 소수(prime number)이면, 정수 모듈로 \(p\)의 링은 영-곱 속성을 가집니다 (사실, 그것은 하나의 필드입니다).
- 가우스 정수(Gaussian integers)는 정수 도메인(integral domain)인데 왜냐하면 그들은 복소수의 부분-링입니다.
- 쿼터니언(quaternions:사원수)의 엄밀히 스큐 필드(strictly skew field)에서, 영-곱 속성은 유지합니다. 이 링은 정수 도메인이 아닌데, 왜냐하면 곱셈은 교환-가능이 아닙니다.
- 비-음의 정수 \(\{0,1,2,\ldots\}\)의 집합은 하나의 링은 아니지만 (대신에 반-링(semiring)), 그것은 영-곱 속성을 만족시킵니다.
Non-examples
- \(\mathbb{Z}_n\)는 정수 모듈로 \(n\)의 링을 나타내는 것으로 놓습니다. 그런-다음 \(\mathbb{Z}_6\)는 영 곱 속성을 만족시키지 않습니다: 2와 3은 비-영 원소이지만, 여전히 \(2 \cdot 3 \equiv 0 \pmod{6}\)입니다.
- 일반적으로, 만약 \(n\)은 합성수이면, \(\mathbb{Z}_n\)는 영-곱 속성을 만족시키지 않습니다. 즉, 만약 \(n = qm\) 여기서 \(0 < q,m < n\)이면, \(m\)과 \(q\)는 비-영 모듈로 \(n\)이지만, 여전히 \(qm \equiv 0 \pmod{n}\)입니다.
- 정수(integer) 엔터디를 갖는 2×2 행렬(matrices)의 링 \(\mathbb{Z}^{2 \times 2}\)은 영-곱 속성을 만족시키지 않습니다: 만약
- \(M = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\) and \(N = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\),
- 이면,
- \(MN = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = 0\)이지만,
- 여전히 \(M\)과 \(N\) 모두는 영이 아닙니다.
- 단위 구간(unit interval)으로부터 실수까지, 모든 함수(function) \(f: [0,1] \to \mathbb{R}\)의 링은 비-자명한 영 인수를 가집니다: 동일하게 영과 같지 않은 함수의 쌍이 있지만, 여전히 그의 곱은 영 함수입니다. 사실, 임의의 n ≥ 2에 대해, 구성하기 어렵지 않지만, \(f_i \, f_j\)가 \(i \neq j\)일 때마다 동일하게 영을 만족하는 동일하게 영이 되는 것은 없습니다.
- 그 같은 것은 심지어 만약 우리가 오직 연속 함수, 또는 오직 심지어 무한하게 매끄러운 함수이면, 참입니다.
Application to finding roots of polynomials
\(P\) 및 \(Q\)가 실수 계수를 가진 일변수 다항식, 및 \(x\)가 \(P(x)Q(x) = 0\)를 만족하는 실수로 가정합니다. (실지로, 우리는 임의의 정수로부터 오는 계수와 \(x\)를 허용할 수 있을 것입니다.) 영-곱 속성에 의해, 그것은 \(P(x) = 0\) 또는 \(Q(x) = 0\) 중 하나임을 따릅니다. 달리 말해서, \(PQ\)의 근은 정확하게 \(Q\)의 근과 함께 \(P\)의 근입니다.
따라서, 우리는 다항식의 근을 찾기 위해 인수분해(factorization)를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 다항식 \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)는 \((x-3)(x-1)(x+2)\)으로 인수화됩니다; 그러므로, 그의 근은 정확하게 3, 1, 및 -2입니다.
일반적으로, \(R\)은 정수 도메인 및 \(f\)는 \(R\)에서 계수를 갖는 차수 \(d \geq 1\)의 일계수(monic) 일변수 다항식으로 가정합니다. 역시 \(f\)가 \(d\) 구별되는 근 \(r_1,\ldots,r_d \in R\)을 가지는 것으로 가정합니다. 그것은 \(f\)가 \(f(x) = (x-r_1) \cdots (x-r_d)\)으로 인수화되는 것을 따릅니다 (그러나 우리는 여기서 입증하기 않습니다). 영-곱 속성에 의해, 그것은 \(r_1,\ldots,r_d\)가 \(f\)의 오직 근임을 따릅니다: \(f\)의 임의의 근은 어떤 \(i\)에 대해 \((x-r_i)\)의 근이어야 합니다. 특히, \(f\)는 많아야 \(d\) 구별하는 근을 가집니다.
만약 어쨌든 \(R\)은 정수 도메인이 아니면, 결론은 유지될 필요는 없습니다. 예를 들어, 삼차 다항식 \(x^3 + 3x^2 + 2x\)은 (비록 그것이 \(\mathbb{Z}\)에서 오직 세 근을 가질지라도) \(\mathbb{Z}_6\)에서 여섯 근을 가집니다.
See also
References
- David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra (3d ed.), Wiley, 2003, ISBN 0-471-43334-9.
External links