수학(mathematics)에서, 링(ring) R의 단위거듭영 원소(unipotent element) r은 r − 1이 거듭제곱영 원소(nilpotent element)임을 만족하는 것입니다; 다시 말해, \((r-1)^n\)은 일부 n에 대해 영입니다.
특히, 정사각 행렬(square matrix) M이 단위거듭영 행렬(unipotent matrix)인 것과 그것의 특성 다항식(characteristic polynomial) P(t)가 t − 1의 거듭제곱인 것은 필요충분 조건입니다. 따라서, 단위거듭영 행렬의 모든 고윳값(eigenvalues)은 1입니다.
용어 준-단위거듭영(quasi-unipotent)은 일부 거듭제곱이 단위거듭영임을 의미하며, 예를 들어, 고윳값이 모두 단위의 근(roots of unity)인 대각화-가능 행렬(diagonalizable matrix)의 경우입니다.
대수적 그룹(algebraic groups)의 이론에서, 그룹 원소는 만약 그것이 특정 자연스러운 그룹 표현(group representation)에서 단위거듭영적으로 동작하면 단위거듭영(unipotent)입니다. 단위거듭영 아핀 대수적 그룹(unipotent affine algebraic group)은 그런-다음 모든 원소가 단위거듭영인 그룹입니다.
Definition
Definition with matrices
대각선을 따라 1을 갖는 위쪽-삼각 행렬(upper-triangular matrices)의 그룹(group) \(\mathbb{U}_n\)을 고려하여, 따라서 그것들은 다음과 같은 행렬(matrices)의 그룹입니다:
\(\quad \mathbb{U}_n = \left\{
\begin{bmatrix}
1 & * & \cdots & * & * \\
0 & 1 & \cdots & * & * \\
\vdots & \vdots & &\vdots & \vdots \\
0& 0& \cdots & 1 &* \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{bmatrix}
\right\}.\)
그런-다음, 단위거듭영 그룹(unipotent group)은 일부 \(\mathbb{U}_n\)의 부분그룹(subgroup)으로 정의될 수 있습니다. 스킴 이론(scheme theory)을 사용하여, 그룹 \(\mathbb{U}_n\)은 그룹 스킴(group scheme)으로 정의될 수 있습니다:
\(\quad \text{Spec}\left(
\frac{\mathbb{C}\!\left[x_{11},x_{12},\ldots, x_{nn}, \frac{1}{\text{det}}\right]}{
(x_{ii} = 1, x_{i > j} = 0)
}
\right)\)
그리고 아핀 그룹 스킴은 만약 그것이 이 스킴의 닫힌 그룹 스킴이면 단위거듭영입니다.
Definition with ring theory
아핀 대수적 그룹(algebraic group)의 원소 x는 G의 아핀 좌표 링(affine coordinate ring) A[G] 위에 결합된 오른쪽 평행이동 연산자, \(r_x\)가 A[G]의 선형 자기사상(linear endomorphism)의 링의 원소로서 지역적으로 단위거듭영일 때 단위거듭영입니다. (지역적으로 단위거듭영은 A[G]의 임의의 유한-차원 안정 부분공간으로의 제한이 보통의 링-이론적인 의미에서 단위거듭영임을 의미합니다.)
아핀 대수적 그룹은 만약 모든 그 원소가 단위거듭영이면 단위거듭영(unipotent)이라고 불립니다. 임의의 단위거듭영 대수적 그룹은 대각선 엔트리 1을 갖는 위쪽 삼각 행렬의 그룹의 닫힌 부분그룹과 동형적(isomorphic)이고, 전환적(conversely)으로 임의의 그러한 부분그룹은 단위거듭영입니다. 특히, 임의의 단위거듭영 그룹은 거듭제곱영 그룹(nilpotent group)이지만, 그 전환은 참이 아닙니다 (반대예제: \(\text{GL}_n(k)\)의 대각 행렬).
예를 들어, 표준 기준 \(e_i\)를 갖는 \(k^n\) 위에 \(\mathbb{U}_n\)의 표준 표현은 고정된 벡터 \(e_1\)을 가집니다.
Definition with representation theory
만약 단위거듭영 그룹이 아핀 다양체(affine variety)에 동작하면, 모든 그 궤도가 닫혀 있고, 만약 그것이 유한-차원 벡터 공간(vector space) 위에 선형적으로 동작하면 그것은 비-영 고정된 벡터를 가집니다. 사실, 후자의 속성은 단위거듭영 그룹의 특성화합니다. 특히, 이것은 비-자명한 반단순 표현(semisimple representations)이 없음을 의미합니다.
Examples
\(\text{U}_n\)
물론, 행렬의 그룹 \(\mathbb{U}_n\)은 단위거듭영입니다. [[lower central series|내림 중심렬(lower central series)]]을 사용하여
\(\quad \mathbb{U}_n = \mathbb{U}_n^{(0)} \supset \mathbb{U}_n^{(1)} \supset \mathbb{U}_n^{(2)} \supset \cdots \supset \mathbb{U}_n^{(m)} = e\)
여기서
\(\quad \mathbb{U}_n^{(1)} = [\mathbb{U}_n,\mathbb{U}_n]\) and \(\mathbb{U}_n^{(2)} = [\mathbb{U}_n, \mathbb{U}_n^{(1)}]\)
결합된 단위거듭영 그룹이 있습니다. 예를 들어, \(n = 4\)에서, 중심렬은 단위거듭영 그룹의 일부 유도된 예제를 제공하는 다음 행렬 그룹입니다:
\(\quad \mathbb{U}_4 = \left\{
\begin{bmatrix}
1 & * & * & * \\
0 & 1 & * & * \\
0 & 0 & 1 & * \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\right\}\), \(\mathbb{U}_4^{(1)} = \left\{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & * & * \\
0 & 1 & 0 & * \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\right\}\), \(\mathbb{U}_4^{(2)} = \left\{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & * \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\right\}\), and \(\mathbb{U}_4^{(3)} = \left\{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\right\}\)
\({\text{G}_a}^n\)
덧셈 그룹 \(\mathbb{G}_a\)는 다음 삽입을 통해 단위거듭영 그룹입니다:
\(\quad a \mapsto \begin{bmatrix}
1 & a\\
0 & 1
\end{bmatrix}\)
행렬 곱셍이 다음과 같이 제공됨을 주목하십시오:
\(\quad \begin{bmatrix}
1 & a \\
0 & 1 \end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
1 & b \\
0 & 1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & a + b \\
0 & 1 \end{bmatrix}\)
따라서 이것은 그룹 삽입입니다. 보다 일반적으로, 다음 맵으로부터 삽입 \(\mathbb{G}_a^n \to \mathbb{U}_{n+1}\)이 있습니다:
\(\quad (a_1,\ldots, a_n) \,\mapsto \begin{bmatrix}
1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} &a_n \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots &1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots &0 & 1
\end{bmatrix}\)
스킴 이론을 사용하여, \(\mathbb{G}_a\)는 다음과 같은 함수자(functor)에 의해 제공됩니다:
\(\quad \mathcal{O}:\textbf{Sch}^{op} \to \textbf{Sets}\)
여기서
\(\quad (X,\mathcal{O}_X) \mapsto \mathcal{O}_X(X)\)
Kernel of the Frobenius
부분카테고리(subcategory) \(\textbf{Sch}/\mathbb{F}_p\) 위에 함수자 \(\mathcal{O}\)를 고려하여, 부분함수자 \(\alpha_p\)가 있으며 여기서
\(\quad \alpha_p(X) = \{ x \in \mathcal{O}(X) : x^p = 0 \}\)
따라서 그것은 프로베니우스 자기-사상(Frobenius endomorphism)의 커널에 의해 주어집니다.
Classification of unipotent groups over characteristic 0
특성(characteristic) 0에 걸쳐 거듭제곱영 리 대수(nilpotent Lie algebras)와 관련하여 단위거듭영 대수 그룹의 좋은 분류가 있습니다. 거듭제곱영 리 대수는 반복된 인접 동작이 결국 영-맵으로 끝남을 만족하는 일부 \(\mathfrak{gl}_n\)의 부분대수라는 점을 상기하십시오. 행렬의 관점에서, 이것은 그것이 \(i \leq j\)에 대해 \(a_{ij} = 0\)를 갖는 행렬, \(\mathfrak{n}_n\)의 부분대수 \(\mathfrak{g}\)임을 의미합니다.
그런-다음, 유한-차원 거듭제곱영 리 대수와 단위거듭영 대수 그룹의 카테고리의 동등성(equivalence of categories)이 있습니다. 이것은 베이커–캠벨–하우스도르프 급수(Baker–Campbell–Hausdorff series) \(H(X,Y)\)를 사용하여 구성될 수 있습니다, 여기서 유한-차원 거듭제곱영 리 대수가 주어졌을 때, 다음 맵은
\(\quad H:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \text{ where } (X,Y)\mapsto H(X,Y)\)
\(\mathfrak{g}\) 위에 단위거듭영 대수적 그룹 구조를 제공합니다.
다른 방향에서, 지수 맵(exponential map)은 임의의 거듭제곱영 정사각 행렬을 단위거듭영 행렬로 취합니다. 더욱이, 만약 U가 가교환 단위거듭영 그룹이면, 지수 맵은 U의 리 대수에서 U 자체로의 동형(isomorphism)을 유도합니다.
Remarks
임의의 주어진 차원의 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed field)에 걸쳐 단위거듭영 그룹은 원칙적으로 분류될 수 있지만, 실제로 분류의 복잡성은 차원에 따라 매우 빠르게 증가하므로, 사람들은 차원 6 근처에서 포기하는 경향이 있습니다.
Unipotent radical
대수적 그룹(algebraic group) G의 단위거듭영 래디컬(unipotent radica)은 G의 래디컬(radical)에 있는 단위거듭영 원소의 집합입니다. 그것은 G의 연결된 단위거듭영 정규 부분그룹이고, 모든 다른 그러한 부분그룹을 포함합니다. 그룹은 만약 그것의 단위거듭영 래디컬이 자명하면 환원적이라고 불립니다. 만약 G가 환원적이면 그 래디컬은 토러스입니다.
Decomposition of algebraic groups
대수적 그룹은 단위거듭영 그룹, 곱셈 그룹, 및 아벨 다양체(abelian varieties)로 분해될 수 있지만, 그것들이 분해하는 방법에 대한 명제는 기저 필드(field)의 특성에 따라 다릅니다.
Characteristic 0
특성 0에 걸쳐 그 구조를 선형 대수적 그룹( linear algebraic group)과 아벨 다양체(Abelian variety)의 구조와 관련시키는 대수적 그룹 \(G\)의 멋진 분해 정리가 있습니다. 다음과 같은 그룹의 짧고 정확한 순서열(short exact sequence)이 있습니다:
\(\quad 0 \to M\times U \to G \to A \to 0\)
여기서 \(A\)는 아벨 다양체, \(M\)은 덧셈 유형이고 (meaning, \(M\)은, 기하학적으로, 토러스와 \(\mu_n\) 형식의 대수적 그룹의 곱임을 의미) \(U\)는 단위거듭영 그룹입니다.
Characteristic p
기저 필드의 특성이 p일 때, 대수적 그룹 \(G\)에 대한 유사한 명제가 있습니다: 다음임을 만족하는 최소 부분그룹 \(H\)가 존재합니다:
- \(G/H\)는 단위거듭영 그룹입니다.
- \(H\)는 곱셈 유형의 그룹 \(M\)에 의한 아벨 다양체 \(A\)의 확장입니다.
- \(M\)은 \(G\)에서 정수비율가능성(commensurability)까지 고유하고 \(A\)는 아이소제니(isogeny)까지 고유합니다.
Jordan decomposition
완전 필드(perfect field)에 걸쳐 선형 대수적 그룹의 임의의 원소 g는 교환하는 단위거듭영과 반단순(semisimple) 원소 \(g_u\)와 \(g_s\)의 곱 \(g= g_u g_s\)로 고유하게 쓸 수 있습니다. 그룹 \(\text{GL}_n(\mathbf{C})\)의 경우에서, 이것은 본질적으로 임의의 역가능 복소수 행렬은 대각 행렬과 위쪽 삼각 행렬의 곱에 대한 켤례라는 것을 말하며, 이는 조르당–슈발레 분해(Jordan–Chevalley decomposition)의 (단지) 덧셈 버전입니다.
그룹에 대한 조르당 분해의 버전도 있습니다: 완전 필드에 걸쳐 임의의 교환 선형 대수적 그룹은 단위거듭영 그룹과 반단순 그룹의 곱입니다.
References
- A. Borel, Linear algebraic groups, ISBN 0-387-97370-2
- Borel, Armand (1956), "Groupes linéaires algébriques", Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 64 (1): 20–82, doi:10.2307/1969949, JSTOR 1969949
- Popov, V.L. (2001) [1994], "unipotent element", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Popov, V.L. (2001) [1994], "unipotent group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Suprunenko, D.A. (2001) [1994], "unipotent matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
