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(번역) Trigonometric integral

by 다움위키 2024. 4. 15.
Original article: w:Trigonometric integral

 

수학에서, 삼각 적분(trigonometric integrals)은 삼각 함수를 포함하는 적분(integral)의 가족(family)입니다.

Sine integral

다른 사인(sine) 적분 정의가 있습니다:

\(\quad\displaystyle \operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt\)

\(\quad\displaystyle \operatorname{si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt~.\)

피적분 \(\tfrac{\sin x}{x}\)은 싱크 함수(sinc function)이고, 역시 0번째 구형 베젤 함수(spherical Bessel function)임에 주목하십시오. sinc는 짝수(even) 전체 함수(entire function) (전체 복소 평면에 걸쳐 정칙(holomorphic))이므로, Si는 전체, 홀수, 및 그것의 정의에서 적분은 끝점을 연결하는 임의의 경로(any path)를 따라 취할 수 있습니다.

정의에 의해, Si(x)는 그의 값이 x = 0에서 영인 \(\tfrac{\sin x}{x}\)의 역도함수(antiderivative)이고, si(x)는 그의 값이 x = ∞에서 영인 역도함수입니다. 그들의 차이는 디리클레 적분(Dirichlet integral)에 의해 주어집니다:

\(\quad\displaystyle \operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2} \quad\) 또는 \(\quad \operatorname{Si}(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{si}(x) ~.\)

신호 처리(signal processing)에서, 사인 적분의 진동은 싱크 필터(sinc filter)를 사용할 때 오버슈트(overshoot) 및 링잉 아티팩트(ringing artifacts)를 초래하고, 만약 잘린 싱크 필터를 저역-통과 필터(low-pass filter)로 사용하면 주파수 도메인(frequency domain) 울림이 발생합니다.

깁스 현상(Gibbs phenomenon)과 관련이 있습니다: 만약 사인 적분이 헤비사이드 계단 함수(heaviside step function)와 함께 싱크 함수의 합성곱(convolution)으로 여겨지면, 이것은 깁스 현상의 원인인 푸리에 급수(Fourier series)를 자르는 것에 해당합니다.

Cosine integral

다른 코사인(cosine) 적분 정의는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \operatorname{Cin}(x) = \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\operatorname{d}t~,\)

\(\quad\displaystyle \operatorname{Ci}(x) = -\int_x^\infty \frac{\cos t}{t}\operatorname{d}t = \gamma + \ln x - \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\operatorname{d}t
\qquad ~\text{ for } ~\left|\operatorname{Arg}(x)\right| < \pi~,\)

여기서 γ ≈ 0.57721566 ...는 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)입니다. 일부 교과서는 Ci 대신에 ci를 사용합니다.

Ci(x)는 \(\tfrac{\cos x}{x}\)의 역도함수입니다 (이것은 \(x \to \infty\)로 사라집니다). 두 정의는 다음에 의해 관련됩니다:

\(\quad \operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Cin}(x)~.\)

Cin는 짝수(even), 전체 함수(entire function)입니다. 해당 이유에 대해, 일부 교과서는 Cin를 주요 함수로 취급하고, Cin의 관점에서 Ci를 유도합니다.

Hyperbolic sine integral

쌍곡 사인(hyperbolic sine) 적분은 다음으로 정의됩니다:

\(\quad\displaystyle \operatorname{Shi}(x) =\int_0^x \frac {\sinh (t)}{t}\,dt.\)

그것은 보통의 사인 적분을 다음에 의해 관련시킵니다:

\(\quad \operatorname{Si}(ix) = i\operatorname{Shi}(x).\)

Hyperbolic cosine integral

쌍곡 코사인(hyperbolic cosine) 적분은 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \operatorname{Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\;\cosh t-1\;}{t}\operatorname{d}t \qquad ~ \text{ for } ~ \left| \operatorname{Arg}(x) \right| < \pi~,\)

여기서 \(\gamma\)는 (오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)입니다.

그것은 다음 급수 전개를 가집니다:

\(\quad\displaystyle \operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac {x^2}{4} + \frac {x^4}{96} + \frac {x^6}{4320} + \frac {x^8}{322560} + \frac{x^{10}}{36288000} + O(x^{12}).\)

Auxiliary functions

삼각 적분은 소위 "보조 함수(auxiliary functions)"의 관점에서 이해될 수 있습니다:

\(\quad
\begin{array}{rcl}
f(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t+x} \mathrm{d}t &=& \int_0^\infty \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} \mathrm{d}t 
 &=& \quad \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)~, \qquad \text{ and }  \\
g(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\cos(t)}{t+x} \mathrm{d}t &=& \int_0^\infty \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} \mathrm{d}t 
 &=& -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)~.
\end{array}
\)

이들 함수를 사용하여, 삼각 적분은 다음으로 다시-표현될 수 있습니다: (참조. 아므라모이츠(Abramowitz) & 스테근(Stegun), p. 232)

\(\quad
\begin{array}{rcl}
\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) = -\operatorname{si}(x)  &=& f(x) \cos(x) + g(x) \sin(x)~, \qquad \text{ and } \\
\operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x)~. \\
\end{array}
\)

Nielsen's spiral

si , ci의 매개변수 플롯에 의해 형성된 나선(spiral)은 닐슨의 나선으로 알려져 있습니다.

\(\quad x(t) = a \times \operatorname{ci}(t)\)

\(\quad y(t) = a \times \operatorname{si}(t)\)

나선은 프레넬 적분(Fresnel integral) 및 오일러 나선(Euler spiral)과 밀접하게 관련됩니다. 닐슨의 나선은 비전 처리, 도로와 트랙 건설 및 다른 분야에 응용을 가집니다.

Expansion

다양한 전개가 삼각 적분의 평가에 대해 사용될 수 있으며, 인수의 치역에 의존합니다.

Asymptotic series (for large argument)

\(\quad\displaystyle \operatorname{Si}(x) \sim \frac{\pi}{2} 
                 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
                 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)\)

\(\quad\displaystyle \operatorname{Ci}(x) \sim \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
                   -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right) ~.\)

이들 급수는, 비록 평가에 대해 사용될 수 있고 ℜ(x) ≫ 1에서 훨씬 정확히 평가될지라도, 점근적(asymptotic)이고 발산입니다.

Convergent series

\(\quad\displaystyle \operatorname{Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots\)

\(\quad\displaystyle \operatorname{Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots\)

이들 급수는 임의의 복소수에서 수렴이며, 비록 |x| ≫ 1일지라도, 그 급수는 처음에는 느리게 수렴할 것이며, 높은 정밀도에 대해 많은 항을 요구합니다.

Derivation of Series Expansion

\(\displaystyle \sin\,x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\,... 
\)(매클로린 급수 전개)

\(\displaystyle \frac{\sin\,x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}- \frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\frac{x^{10}}{11!}+\,...  
\)

\(\displaystyle \therefore\int \frac{\sin\,x}{x}dx = x - \frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}- \frac{x^7}{7!\cdot7}+\frac{x^9}{9!\cdot9}-\frac{x^{11}}{11!\cdot11}+\,...  
\)

Relation with the exponential integral of imaginary argument

다음 함수는

\(\quad\displaystyle 
\operatorname{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,dt \qquad~\text{ for }~ \Re(z) \ge 0 \)

지수 적분(exponential integral)이라고 불립니다. 그것은 Si 및 Ci와 밀접하게 관련됩니다:

\(\quad\displaystyle 
\operatorname{E}_1(i x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = i \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad ~\text{ for }~ x > 0 ~.
\)

각각의 관련된 함수는 인수의 음의 값을 잘라내는 것을 제외하고 해석적이므로, 관계의 유효성의 영역은 확장되어야 합니다 (이 범위를 벗어나면, π의 정수 인수인 추가적인 항이 표현에 나타납니다).

일반화된 적분-지수 함수의 허수 인수의 경우는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle 
\int_1^\infty \cos(ax)\frac{\ln x}{x} \, dx =
-\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2a}{2}
+\sum_{n\ge 1} \frac{(-a^2)^n}{(2n)!(2n)^2} ~,
\)

이것은 다음의 실수 부분입니다:

\(\quad\displaystyle 
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x} \, \operatorname{d}x = 
-\frac{\pi^2}{24} + \gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2 a}{2} 
-\frac{\pi}{2}i\left(\gamma+\ln a\right) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^n}{n!n^2}  ~.
\)

비슷하게

\(\quad\displaystyle 
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x^2}\, \operatorname{d}x = 
 1 + ia\left[ -\frac{\;\pi^2}{24} + \gamma \left( \frac{\gamma}{2} + \ln a - 1 \right) + \frac{\ln^2 a}{2} - \ln a + 1 \right]
+ \frac{\pi a}{2} \Bigl( \gamma+\ln a - 1 \Bigr) 
 + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^2}~.
\)

Efficient evaluation

수렴 테일러 급수의 파데 근사(Padé approximant)는 작은 인수에 대해 함수를 평가하는 효율적인 방법을 제공합니다. 다음 공식은, 로우 등. (2015)에 의해 제공되었으며, 0 ≤ x ≤ 4에 대해 \(10^{-16}\)보다 더 좋게 정확합니다:

\(\quad\displaystyle 
\begin{array}{rcl}
\operatorname{Si}(x) &\approx & x \cdot \left( 
\frac{
\begin{array}{l}
1 -4.54393409816329991\cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 1.15457225751016682\cdot 10^{-3} \cdot x^4 - 1.41018536821330254\cdot 10^{-5} \cdot x^6 \\
~~~ + 9.43280809438713025 \cdot 10^{-8} \cdot x^8 - 3.53201978997168357 \cdot 10^{-10} \cdot x^{10} + 7.08240282274875911 \cdot 10^{-13} \cdot x^{12} \\
~~~ - 6.05338212010422477 \cdot 10^{-16} \cdot x^{14}
\end{array}
}
{
\begin{array}{l}
1 + 1.01162145739225565 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 4.99175116169755106 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 1.55654986308745614 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\
~~~ + 3.28067571055789734 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 4.5049097575386581 \cdot 10^{-13} \cdot x^{10} + 3.21107051193712168 \cdot 10^{-16} \cdot x^{12}
\end{array}
}
\right)\\
&~&\\
\operatorname{Ci}(x) &\approx & \gamma + \ln(x) +\\
&& x^2 \cdot \left(
\frac{
\begin{array}{l}
-0.25 + 7.51851524438898291 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 - 1.27528342240267686 \cdot 10^{-4} \cdot x^4 + 1.05297363846239184 \cdot 10^{-6} \cdot x^6 \\
~~~ -4.68889508144848019 \cdot 10^{-9} \cdot x^8 + 1.06480802891189243 \cdot  10^{-11} \cdot x^{10} - 9.93728488857585407 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\
\end{array}
}
{
\begin{array}{l}
1 + 1.1592605689110735 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 6.72126800814254432 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 2.55533277086129636 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\
~~~ + 6.97071295760958946 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 1.38536352772778619 \cdot 10^{-12} \cdot x^{10} + 1.89106054713059759 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\
~~~ + 1.39759616731376855 \cdot 10^{-18} \cdot x^{14} \\
\end{array}
}
\right)
\end{array}
\)

그 적분은 보조 함수 \(f(x)\)와  \(g(x)\)을 통해 간접적으로 평가될 수 있으며, 이것은 다음에 의해 정의됩니다:

\(x \ge 4\)에 대해, 아래에 주어진 파데 유리 함수(Padé rational functions)는 \(10^{-16}\)보다 작은 오차를 갖는 \(f(x)\)와 \(g(x)\)를 근사화합니다:

\(\quad
\begin{array}{rcl}
f(x) &\approx & \dfrac{1}{x} \cdot \left(\frac{
\begin{array}{l}
1 + 7.44437068161936700618 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.96396372895146869801 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.37750310125431834034 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 1.43073403821274636888 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.33736238870432522765 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 6.40533830574022022911 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 4.20968180571076940208 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.00795182980368574617 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 4.94816688199951963482 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\
~~~ - 4.94701168645415959931 \cdot 10^{11} \cdot x^{-20}
\end{array}
}{
\begin{array}{l}
1 + 7.46437068161927678031 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.97865247031583951450 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.41535670165126845144 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 1.47478952192985464958 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.58595115847765779830 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 7.08501308149515401563 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 5.06084464593475076774 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.43468549171581016479 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 1.11535493509914254097 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}
\end{array}
}
\right) \\
& &\\
g(x) &\approx & \dfrac{1}{x^2} \cdot \left(\frac{
\begin{array}{l}
1 + 8.1359520115168615 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.35239181626478200 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} +3.12557570795778731 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 2.06297595146763354 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 6.83052205423625007 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.09049528450362786 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 7.57664583257834349 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.81004487464664575 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 6.43291613143049485 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\
~~~ - 1.36517137670871689 \cdot 10^{12} \cdot x^{-20}
\end{array}
}{
\begin{array}{l}
1 + 8.19595201151451564 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.40036752835578777 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 3.26026661647090822 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 2.23355543278099360 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 7.87465017341829930 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.39866710696414565 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 1.17164723371736605 \cdot 10^{13} \cdot x^{-14} + 4.01839087307656620 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 3.99653257887490811 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}
\end{array}
}
\right) \\
\end{array}
\)

See also

 

 

References

Further reading

External links

 

 

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