유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 볼록(convex) 사변형(quadrilateral)에서, 사다리꼴(북미 밖에서 trapezium (/trəˈpiːziəm/), 미국과 캐나다에서 trapezoid)은 적어도 한 쌍의 평행한 변(parallel)을 갖는 것을 참조합니다. 평행한 변은 사다리꼴의 밑면이라고 불리고 다른 두 변은 다리 또는 옆쪽 변이라고 불립니다 (만약 옆쪽 변이 평행하지 않으면 다리이고, 그렇지 않으면 두 쌍의 밑면이 있습니다). 부등변 사다리꼴(scalene trapezoid)은 아래의 특수한 경우와 달리, 같은 측정의 변이 없는 사다리꼴입니다.
Etymology and trapezium vs trapezoid
고대 그리스 수학자 유클리드(Euclid)는 사변형의 5가지 유형을 정의했으며, 그 중 넷은 평행 변의 두 집합 (정사각형, 직사각형, 마름모, 및 럼보이드로 알려짐)을 가지고 마지막 유형은 평행 변의 두 집합을 가지지 않습니다 – τραπέζια (trapezia 문자 그대로 "테이블", τετράς(tetrás), "넷" + πέζα(péza), "발; 끝, 경계, 가장자리").
두 가지 유형의 trapezia는 프로크로스(Proclus) (기원후 412에서 485)에 의해 유클리드의 원론(Euclid's Elements)의 첫 번째 책 위에 주석에서 소개되었습니다:
- 한 쌍의 평행한 변 – trapezium (τραπέζιον), 이등변 (같은 다리)과 부등변 (같지 않은) 사다리꼴로 나뉩니다.
- 평행변 없음 – trapezoid (τραπεζοειδή, trapezoeidé, 문자 그대로 사다리꼴-계열 (εἶδος는 "닮음"을 의미), 같은 방법에서 큐보이드(cuboid)는 입방체(cube)-계열을 의미하고 럼보이드(rhomboid)는 사다리꼴(rhombus)-계열을 의미)
모든 유럽 언어는 18세기 후반까지 영어와 마찬가지로 프로크로스(Proclus)의 구조를 따르고, 1795년 찰스 허튼(Charles Hutton)에 의해 출판된 영향력 있는 수학 사전에서 설명없이 용어의 전치를 지지했습니다. 이 실수는 약 1875년 영국식 영어로 수정되었지만 미국식 영어에서는 현대까지 유지되었습니다.
이 기사에서는 미국과 캐나다에서 통용되는 의미로 사다리꼴(trapezoid)이라는 용어를 사용합니다. 모양은 종종 불규칙한 사변형이라고 불립니다.
Inclusive vs exclusive definition
두 쌍의 평행한 변을 가진 평행사변형(parallelogram)을 사다리꼴로 고려되어야 하는지에 대해서는 약간의 의견이 분분합니다. 어떤 사람들은 사다리꼴을 오직 한 쌍의 평행한 변 (배타적 정의)을 가지는 사변형으로 정의하여, 그것에 따라 평행사변형을 제외합니다. 다른 사람들은 사다리꼴을 적어도 한 쌍의 평행한 변 (포함하는 정의)을 갖는 사변형으로 정의하여, 평행사변형을 사다리꼴의 특수한 유형으로 만듭니다. 후자의 정의는 미적분학(calculus)과 같은 고등 수학에서의 사용과 일치합니다. 이 기사는 포함하는 정의를 사용하고 평행사변형을 사다리꼴의 특수한 경우로 고려합니다. 이것은 역시 사변형의 분류법에서 지지됩니다.
포함하는 정의 아래에서, 모든 평행사변형 (마름모(rhombus), 직사각형(rectangle), 및 정사각형(square)을 포함)은 사다리꼴입니다. 직사각형은 중간-가장자리 위에 거울 대칭을 가집니다; 마름모는 꼭짓점 위에 거울 대칭을 가지고, 반면 정사각형은 중간-가장자리와 꼭짓점 모두에 거울 대칭을 가집니다.
Special cases
직각 사다리꼴(right trapezoid 역시 right-angled trapezoid라고 불림)은 둘의 인접한 직각(right angles)을 가집니다. 직각 사다리꼴은 곡선 아래에서 넓이를 추정하기 위한 사다리꼴 규칙(trapezoidal rule)에서 사용됩니다.
예각 사다리꼴(acute trapezoid)은 그것의 더 긴 밑변 위에 둘의 인접한 예각을 가지고, 반면 둔각 사다리꼴(obtuse trapezoid)은 각 밑변에 하나의 예각과 하나의 둔각을 가집니다.
이등변 사다리꼴(isosceles trapezoid)은 밑변의 각도가 같은 측정을 가지는 사다리꼴입니다. 결과로써, 두 다리가 역시 같은 길이의 것이고 그것은 반사 대칭(reflection symmetry)을 가집니다. 이것은 예각 사다리꼴 또는 직각 사다리꼴 (직사각형)에 대해 가능합니다.
평행사변형(parallelogram)은 두 쌍의 평행 변을 갖는 사다리꼴입니다. 평행사변형은 중심 2-겹 회전 대칭(rotational symmetry) (또는 점 반사(point reflection) 대칭)을 가집니다. 그것은 둔각 사다리꼴 또는 직각 사다리꼴 (직사각형)에 대해 가능합니다.
접하는 사다리꼴(tangential trapezoid)은 내원(incircle)을 가지는 사다리꼴입니다.
사케리 사변형(Saccheri quadrilateral)은 쌍곡형 평면에서 사다리꼴과 닮았으며, 둘의 인접한 직각이 있고, 반면에 그것은 유클리드 평면에서 직사각형입니다. 쌍곡형 평면에서 램버트 사변형(Lambert quadrilateral)은 3 직각을 가지고 있습니다.
Condition of existence
넷의 길이 a, c, b, d는 오직 다음일 때 평행한 a와 b를 갖는 비-평행사변형 사다리꼴의 연속적인 변을 구성할 수 있습니다:
\(\quad \displaystyle |d-c| < |b-a| < d+c.\)
사변형은 \(d-c = b-a = 0\)일 때 평행사변형이지만, 그것은 \(|d-c| = |b-a| \neq 0\)일 때 밖의-접하는 사변형(ex-tangential quadrilateral)입니다 (이것은 사다리꼴이 아닙니다).
Characterizations
볼록 사변형이 주어지면, 다음 속성은 동등하고, 각각은 사변형이 사다리꼴임을 의미합니다:
- 그것은 보충적(supplementary), 즉, 그것들은 합해져서 180 도(degree)인 둘의 인접한 각도(angle)를 가집니다.
- 한 변과 한 대각선 사이의 각도는 반대쪽 변과 같은 대각선 사이의 각도와 같습니다.
- 대각선(diagonal)은 서로 같은 비율(ratio)로 자릅니다 (이 비율은 평행한 변의 길이 사이의 비율과 같습니다).
- 대각선은 사변형을 삼각형의 반대쪽 한 쌍이 같은 넓이를 가지는 넷의 삼각형으로 자릅니다.
- 한 대각선에 의해 형성된 두 삼각형의 넓이의 곱은 다른 대각선에 의해 형성된 두 삼각형의 넓이의 곱과 같습니다.
- 대각선에 의해 형성된 넷의 삼각형 중 어떤 둘의 반대편 삼각형의 넓이 S와 T는 다음 식을 만족시킵니다:
- \(\sqrt{K}=\sqrt{S}+\sqrt{T},\)
- 여기서 K는 사변형의 넓이입니다.
- 둘의 반대편 변의 중간점과 대각선의 교차점이 공선형(collinear)입니다.
- 사변형 ABCD에서 넓이는 \(\sin A\sin C=\sin B\sin D\)을 만족시킵니다.
- 둘의 인접한 각도의 코사인은 합해져서 0이고, 나머지 두 각도의 코사인도 마찬가지입니다.
- 둘의 인접한 각도의 코탄젠트는 합해져셔 0이고, 나머지 두 인접한 각도의 코탄젠트도 마찬가지입니다.
- 하나의 쌍-중앙선(bimedian)은 사변형을 같은 넓이의 두 사변형으로 나눕니다.
- 둘의 반대편 변의 중간점을 연결하는 쌍-중앙선의 길이의 두 배는 나머지 변의 길이의 합과 같습니다.
추가적으로, 다음 속성은 동등하고, 각각은 반대편 변 a와 b가 평행함을 의미합니다:
- 연속적인 변 a, c, b, d와 대각선 p, q는 다음 방정식을 만족시킵니다:
- \(p^2+q^2=c^2+d^2+2ab.\)
- 대각선의 중간점 사이의 거리 v는 다음 방정식을 만족시킵니다:
- \(\displaystyle v=\frac{|a-b|}{2}.\)
Midsegment and height
사다리꼴의 중간선분 (역시 중앙선 또는 중간직선으로 불림)은 다리의 중간점(midpoint)을 연결하는 선분입니다. 그것은 밑변과 평행합니다. 그것의 길이 m은 사다리꼴의 밑변과 a와 b의 길이의 평균과 같습니다:
\(\quad\displaystyle m = \frac{a + b}{2}.\)
사다리꼴의 중간선분은 둘의 쌍-중앙선(bimedian) 중 하나입니다 (다른 쌍-중앙선은 사다리꼴을 같은 넓이로 나눕니다).
높이 (또는 고도)는 밑변 사이의 수직(perpendicular) 거리입니다. 두 밑변이 다른 길이 (a ≠ b)를 가지는 경우에서, 사다리꼴의 높이 h는 다음 공식을 사용하여 그것의 네 변의 길이에 의해 결정될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle h= \frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|b-a|}\)
여기서 c와 d는 다리의 길이입니다.
Area
사다리꼴의 넓이 K는 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle K = \frac{a + b}{2} \cdot h = mh\)
여기서 a와 b는 평행 변의 길이, h는 높이 (이들 변 사이의 수직 거리)이고, m은 두 평행 변의 길이의 산술 평균(arithmetic mean)입니다. 기원후 499년에, 아리아바타(Aryabhata), 인도 수학(Indian mathematics)과 인도 천문학(Indian astronomy)의 고전 시대에서 위대한 수학자(mathematician)이자-천문학자(astronomer)는 Aryabhatiya (섹션 2.8)에서 이 방법을 사용했습니다. 이것은 삼각형(triangle)의 넓이에 대해 잘-알려진 공식을, 삼각형을 평행한 변 중 하나가 한 점으로 축소된 퇴화 사다리꼴로 고려함으로써, 특별한 경우(special case)로 산출됩니다.
7세기 인도 수학자 바스카라 1세(Bhāskara I)는 연속적인 변 a, c, b, d를 갖는 사다리꼴의 넓이에 대해 다음 공식을 도출했습니다:
\(\quad\displaystyle K=\frac{1}{2}(a+b)\sqrt{c^2-\frac{1}{4}\left((b-a)+\frac{c^2-d^2}{b-a}\right)^2}\)
여기서 a와 b는 평행이고 b > a입니다. 이 공식은 더 대칭적인 버전으로 인수화될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle K = \frac{a+b}{4|b-a|}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}.\)
평행한 변 중 하나가 점으로 줄어들 때 (말하자면 a = 0), 이 공식은 삼각형의 넓이에 대해 헤론 공식(Heron's formula)으로 줄어듭니다.
헤론의 공식과 더 밀접하게 닮은 넓이에 대해 또 다른 동등한 공식은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle K = \frac{a+b}{|b-a|}\sqrt{(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)},\)
여기서 \(s = \tfrac{1}{2}(a + b + c + d)\)는 사다리꼴의 반둘레(semiperimeter)입니다. (이 공식은 브라마굽타의 공식(Brahmagupta's formula)과 유사하지만, 사다리꼴이 순환적(cyclic)이지 (원에 내접되지) 않을 수 있다는 점에서 다릅니다. 그 공식은 역시 일반적인 사변형(quadrilateral)에 대해 브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)의 특별한 경우입니다).
브레치나이더 공식에 따르면, 그것은 다음임을 따릅니다:
\(\quad\displaystyle K= \sqrt{\frac{(ab^2-a^2 b-ad^2+bc^2)(ab^2-a^2 b-ac^2+bd^2)}{(2(b-a))^2} - \left(\frac{b^2+d^2-a^2-c^2}{4}\right)^2}.\)
평행 변의 중간점을 연결하는 직선은 넓이를 이등분합니다.
Diagonals
대각선의 길이는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle p= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ac^2+bd^2}{b-a}},\)
\(\quad\displaystyle q= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ad^2+bc^2}{b-a}}\)
여기서 a는 짧은 밑변, b는 긴 밑변이고, c와 d는 사다리꼴의 다리입니다.
만약 사다리꼴이 (오른쪽에 보인 것처럼) 그것의 대각선 AC와 BD에 의해 넷의 삼각형으로 나뉘고, O에서 교차하면, △ AOD의 넓이는 △ BOC의 넓이와 같고, △ AOD와 △ BOC의 넓이의 곱은 △ AOB와 △ COD의 넓이의 곱과 같습니다. 인접한 삼각형의 각 쌍의 넓이의 비율은 평행 변의 길이 사이의 비율과 같습니다.
사다리꼴이 순서대로 꼭짓점 A, B, C, 및 D를 가지고 평행 변 AB와 DC를 가진다고 놓습니다. E를 대각선의 교차점으로 놓고, F를 변 DA 위에 있고, G를 FEG가 AB와 CD와 평행함을 만족하는 변 BC 위에 있다고 놓습니다. 그런-다음 FG는 AB와 DC의 조화 평균(harmonic mean)입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{1}{FG}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{AB}+ \frac{1}{DC} \right).\)
확장된 비-평행 변의 교차점과 대각선의 교차점 둘 다를 통과하는 직선은 각 밑변을 이등분합니다.
Other properties
넓이의 중심 (균등 박판(lamina)의 질량의 중심)은 다음에 의해 주어진 긴 더 변 b로부터 수직 거리 x에서 평행한 변의 중간점을 연결하는 선분을 따라 놓입니다:
\(\quad\displaystyle x = \frac{h}{3} \left( \frac{2a+b}{a+b}\right).\)
넓이의 중심은 이 선분을 다음 비율로 나눕니다 (짧은 변에서 긴 변으로 취할 때):
\(\quad\displaystyle \frac{a+2b}{2a+b}.\)
만약 각도 A와 B에 대한 각도 이등분선이 P에서 교차하고, 각도 C와 D에 대한 각도 이등분선이 Q에서 교차하면, 다음입니다:
\(\quad\displaystyle PQ=\frac{|AD+BC-AB-CD|}{2}.\)
Applications
Architecture
건축에서, 그 단어는 이집트 스타일에서 대칭적인 문, 창문, 및 아래로 갈수록 넓어지고 위로 갈수록 가늘어지는 건물을 참조하기 위해 사용됩니다. 만약 이것들이 직선 면과 날카로운 각진 모서리를 가지면, 그것들의 모양은 보통 이등변 사다리꼴(isosceles trapezoid)입니다. 이것은 잉카(Inca)의 문과 창문의 표준 스타일이었습니다.
Geometry
교차 사다리 문제(crossed ladders problem)는 대각선 길이와 수직 다리에서 대각선 교차점까지의 거리가 주어지면 직각 사다리꼴의 평행한 변 사이의 거리를 찾는 문제입니다.
Biology
형태학(morphology), 분류학(taxonomy), 및 그러한 모양에 대해 용어가 필요되는 다른 기술 분야에서, 사다리꼴 또는 사다리꼴과 같은 용어는 공통적으로 특정 기관 또는 형태를 설명하는 데 유용합니다.
Computer engineering
컴퓨터 공학, 특히 디지털 논리와 컴퓨터 아키텍처에서, 사다리꼴은 전형적으로 멀티플렉서(multiplexors)를 상징하기 위해 이용됩니다. 멀티플렉서는 여러 요소 중에서 선택하고 선택 신호를 기반으로 단일 출력을 생성하는 논리 원소입니다. 전형적인 디자인은 그것들이 보편적으로 동등하기 때문에 그것들이 멀티플렉서라고 구체적으로 언급하지 않고 사다리꼴을 사용할 것입니다.
Further reading
- D. Fraivert, A. Sigler and M. Stupel : Common properties of trapezoids and convex quadrilaterals
External links
- Trapezium at Encyclopedia of Mathematics.
- Weisstein, Eric W. "Right trapezoid". MathWorld.
- Trapezoid definition Area of a trapezoid Median of a trapezoid With interactive animations
- Trapezoid (North America) at elsy.at: Animated course (construction, circumference, area)
- Trapezoidal Rule on Numerical Methods for Stem Undergraduate
- Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications, (2008)
