기하학(geometry)에서 토러스(torus, 복수형 tori 또는 toruses)는 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 원(circle)을 공통-평면(coplanar)에 있는 축을 중심으로 한 바퀴 완전히 회전함으로써 생성되는 회전의 표면(surface of revolution)입니다. 토러스의 주요 유형은 반지 토러스, 뿔 토러스, 및 추형 토러스를 포함합니다. 고리 토러스는 구어체로 도넛(donut or doughnut)이라고도 참조됩니다.
만약 회전의 축이 원에 닿지 않으면, 표면은 고리 모양을 가지고 회전의 토러스(torus of revolution)라고 불리고, 역시 고리 토러스(ring torus)라고 알려져 있습니다. 만약 회전축이 원에 접하면 그 표면은 뿔 토러스(horn torus)입니다. 만약 회전축이 원을 두 번 통과하면, 그 표면은 추형 토러스(spindle torus, 또는 self-crossing torus 또는 self-intersecting torus)입니다. 만약 회전축이 원의 중심을 통과하면, 그 표면은 이중으로 덮인 구(sphere), 퇴화 토러스입니다. 만약 회전된 곡선이 원이 아니면, 그 표면은 정사각형 토로이드에서와 같이 토로이드(toroid)라고 불립니다.
회전의 토러스를 근사화하는 실-세계 대상은 수영 고리(swim rings), 안의 튜브(inner tubes), 및 반지 고리(ringette rings)를 포함합니다.
토러스는 축을 중심으로 원이 아닌 디스크(disk)를 회전시킴으로써 형성되는 고체 토러스(solid torus)와 혼동해서는 안 됩니다. 고체 토러스는 토러스와 토러스 내부의 부피(volume)를 더한 것입니다. 고체 토러스(solid torus)를 근사화하는 실-세게 대상은 O-고리(O-rings), 비-팽창식 구명-부표(lifebuoys), 고리 도넛(doughnuts), 및 베이글(bagel)을 포함합니다.
토폴로지(topology)에서, 고리 토러스는 두 원의 데카르트 곱: \(S^{1}\times S^{1}\)과 위상동형적(homeomorphic)이고, 후자는 해당 맥락에서 정의로 취합니다. 그것은 지너스 1의 컴팩트 2-매니폴드입니다. 고리 토러스는 이 공간을 유클리드 공간에 삽입하는 한 가지 방법이지만, 이를 수행하는 또 다른 방법은 자체와 평면에서 \(S^{1}\)의 삽입(embedding)의 데카르트 곱입니다. 이것은 4-공간(4-space)의 표면, 클리포드 토러스(Clifford torus)라고 불리는 기하학적 대상을 생성합니다.
토폴로지의 분야에서, 토러스는 토러스와 위상동형적인 토폴로지적 공간입니다. 커피잔과 도넛의 표면은 모두 지너스(genus) 일을 갖는 토폴로지적 토러스입니다.
토러스의 예제는 고무와 같은 유연한 재료의 직사각형 띠를 취하고, 임의의 절반-꼬임 없이 꼭대기 가장자리를 바닥 가장자리와 왼쪽 가장자리를 오른쪽 가장자리를 연결함으로써 구성될 수 있습니다 (뫼비우스 띠(Möbius strip)를 비교하십시오).
Geometry
토러스는 다음에 의해 매개변수적(parametrically)으로 정의될 수 있습니다:
\(\quad \begin{align}
x(\theta, \varphi) &= (R + r \cos \theta) \cos{\varphi}\\
y(\theta, \varphi) &= (R + r \cos \theta) \sin{\varphi}\\
z(\theta, \varphi) &= r \sin \theta\\
\text{with:}~ \theta, \varphi \in [0,2\pi)
\end{align}\)
여기서
- θ, φ는 완전한 원을 이루는 각도이므로, 그것들의 값은 같은 점에서 시작하고 끝납니다.
- R은 튜브 중심에서 토러스 중심까지의 거리입니다.
- r은 튜브의 반지름입니다.
각도 θ는 튜브 주위의 회전을 나타내고 φ는 토러스의 회전의 축 주위의 회전을 나타냅니다. R은 "주요 반지름(major radius)"으로 알려져 있고 r은 "보조 반지름(minor radius)"으로 알려져 있습니다. 비율 R을 r로 나눈 값은 "종횡비(aspect ratio)"라고 알려져 있습니다. 전형적인 도넛 과자는 종횡비가 3:2 정도입니다.
z-축(axis)에 대한 반지름 방향으로 대칭인 토러스에 대한 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)의 암시적(implicit) 방정식은 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \left(\sqrt{x^2 + y^2} - R\right)^2 + z^2 = r^2,\)
또는 f(x, y, z) = 0의 해, 여기서
\(\quad\displaystyle f(x,y,z) = \left(\sqrt{x^2 + y^2} - R\right)^2 + z^2 - r^2.\)
제곱근(square root)을 대수적으로 제거하는 것은 사차 방정식(quartic equation)을 제공합니다:
\(\quad \left(x^2 + y^2 + z^2 + R^2 - r^2\right)^2 = 4R^2\left(x^2+y^2\right).\)
표준 토러스의 세 가지 클래스는 R과 r 사이의 세 가지 가능한 종횡비에 해당합니다:
- R > r일 때, 표면은 친숙한 고리 토러스 또는 닻 고리가 됩니다.
- R = r는 사실상 "구멍"이 없는 토러스인 뿔 토러스에 해당합니다.
- R < r은 자체-교차하는 추형 토러스를 설명합니다; 속껍질은 레몬, 겉껍질은 사과입니다.
- R = 0일 때, 토러스는 구로 퇴화합니다.
R ≥ r일 때, 토러스의 내부(interior)는
\(\quad\displaystyle \left(\sqrt{x^2 + y^2} - R\right)^2 + z^2 < r^2\)
유클리드 열린 디스크(Euclidean open disk)와 원의 곱에 미분동형적(diffeomorphic, 및, 따라서, 위상동형적)입니다. 이 고체 토러스의 부피(volume)와 그것의 토러스의 표면 넓이(surface area)는 다음을 제공하는 파푸스의 도형중심 정리(Pappus's centroid theorem)를 사용하여 쉽게 계산됩니다:
\(\quad \begin{align}
A &= \left( 2\pi r \right) \left(2 \pi R \right) = 4 \pi^2 R r \\
V &= \left ( \pi r^2 \right ) \left( 2 \pi R \right) = 2 \pi^2 R r^2.
\end{align}\)
이들 공식은 길이 2πR이고 반지름 r의 원기둥에 대한 것과 같으며, 작은 원의 평면을 따라 튜브를 자르고, 튜브 중심을 따라 흐르는 선을 곧게 폄으로써 (정류함으로써) 그것을 펼쳐서 구합니다. 튜브 내부 면의 표면 넓이와 부피의 손실은 외부 면의 이득을 정확하게 상쇄합니다.
표면 넓이와 부피를 토러스 표면의 가장 바깥쪽 점에서 중심까지의 거리 p와 가장 안쪽 점에서 중심까지의 거리 q로 표현하면 (따라서 \(R = \tfrac{p+q}{2}\) 및 \(r = \tfrac{p-q}{2}\)), 다음을 산출합니다:
\(\quad \begin{align}
A &= 4 \pi^2 \left(\frac{p+q}{2}\right) \left(\frac{p-q}{2}\right) = \pi^2 (p+q) (p-q) \\
V &= 2 \pi^2 \left(\frac{p+q}{2}\right) \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 = \tfrac14 \pi^2 (p+q) (p-q)^2
\end{align}\)
토러스는 두 개의 원의 곱이므로, 수정된 버전의 구형 좌표 시스템(spherical coordinate system)이 때때로 사용됩니다. 전통적인 구형 좌표에서, 좌표 시스템의 중심으로부터의 거리, R과 중심 점에서 측정된 각도, θ와 φ의 세 가지 측정이 있습니다.
토러스에는 사실상 두 개의 중심 점이 있으므로, 각도의 중심점이 이동됩니다; φ는 구형 시스템에서 측정하는 것처럼 같은 각도를 측정하지만, "토러스적(toroidal)" 방향으로 알려져 있습니다. θ의 중심 점은 r의 중심으로 이동하고, "폴로이드적(poloidal)" 방향으로 알려져 있습니다. 이들 용어는 "폴로이드적(poloidal)"가 "극을 향한 방향"을 나타내기 위해 사용된 지구 자기 필드에 대한 논의에서 처음 사용되었습니다.
현대적 사용에서, 토러스적 및 폴로이드적(toroidal and poloidal)은 보다 공통적으로 자기 제한 융합(magnetic confinement fusion) 장치를 논의하기 위해 사용됩니다.
Topology
토폴로지적으로, 토러스는 두 원의 곱: \(S^1 \times S^1\)으로 정의되는 닫힌 표면(closed surface)입니다. 이것은 \(C^2\)에 있는 것으로 볼 수 있고 반지름 \(\sqrt{2}\)인 3-구 \(S^3\)의 부분집합입니다. 종종 클리포드 토러스(Clifford torus)라고 불립니다. 사실, \(S^3\)는 중첩된 토러스의 가족에 의해 이러한 방식 (2개의 퇴화된 원을 가짐)으로 채워지며, 이는 \(S^2\) (호프 다발(Hopf bundle))에 걸쳐 섬유 다발(fiber bundle)로서 \(S^3\)의 연구에서 중요한 사실입니다.
위에서 설명된 표면은, \(\mathbb{R}^{3}\)에서 상대적 토폴로지(relative topology)가 주어지면, 그것이 자체 축과 교차하지 않은 한 토폴로지적 토러스에 위상동형적(homeomorphic)입니다. 특정 위상동형은 \(S^3\)의 북극에서 \(\mathbb{R}^{3}\)으로 토폴로지적 토러스를 입체적으로 투영함으로써 제공됩니다.
토러스는 역시 다음 식별 아래에서 데카르트 평면(Cartesian plane)의 몫(quotient)으로 설명될 수 있습니다:
\(\quad (x,y) \sim (x+1,y) \sim (x,y+1), \,\)
또는, 동등하게, 기본 다각형(fundamental polygon) \(ABA^{-1}B^{-1}\)으로 설명되는 반대쪽 가장자리를 함께 붙여넣음으로써 단위 정사각형(unit square)의 몫으로 설명될 수 있습니다.
토러스의 기본 그룹(fundamental group)은 원의 기본 그룹과 그 자체의 직접 곱(direct product)입니다:
\(\quad \pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(\mathbb{S}^1) \times \pi_1(\mathbb{S}^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.\)
직관적으로 말하자면, 이것은 토러스의 "구멍" (말하자면, 특정 위도를 추적하는 원)을 돌고 나서 토러스의 "몸체" (말하자면, 특정 경도를 추적하는 원)를 돌고 있는 닫힌 경로(closed path)가 몸체와 그런-다음 구멍을 돌고 있는 경로로 변형될 수 있음을 의미합니다. 따라서, 엄격하게 '위도' 및 엄격하게 '경도' 경로가 교환합니다. 두 개의 신발끈이 서로 통과하다가 풀렸다가 다시 감는 것과 같은 표현을 상상할 수 있습니다.
만약 토러스가 구멍 뚫리고 뒤집어지면, 위도와 경도가 서로 바뀌는 또 다른 토러스가 생성됩니다. 이것은 두 가지 방법으로: 정원용 호스의 두 끝을 연결하는 것처럼 바깥쪽으로, 또는 양말을 굴리는 것처럼 내부를 통해 (발가락이 잘린 상태에서), 원형 끝을 함께 결합함으로써 원기둥에서 토러스를 만드는 것과 동등합니다. 추가적으로, 만약 직사각형의 반대쪽 두 면을 함께 붙여 원기둥을 만들면, 대신 다른 두 면을 선택하는 것이 방향의 같은 반전이 발생할 것입니다.
토러스의 첫 번째 호몰로지 그룹(homology group)은 기본 그룹과 동형적(isomorphic)입니다 (이것은 기본 그룹이 아벨(abelian)이기 때문에 후레비치 정리(Hurewicz theorem)에서 따릅니다).
Two-sheeted cover
2-토러스는 4개의 분기 점(ramification points)으로 2-구를 이중으로 덮습니다. 2-토러스 위의 모든 각 등각 구조(conformal structure)는 2-구의 두-판 덮개로 나타낼 수 있습니다. 분기 점에 해당하는 토러스 위의 점은 바이어슈트라스 점(Weierstrass points)입니다. 사실 토러스의 등각 유형은 네 점의 교차-비율(cross-ratio)에 의해 결정됩니다.
n-dimensional torus
토러스는 더 높은 차원인 n-차원 토러스로 일반화되어, 종종 n-토러스 또는 줄여서 하이퍼토러스라고 불립니다. (이것은 "n-토러스"라는 용어의 보다 일반적인 의미이며, 다른 하나는 n 구멍 또는 지너스 n을 참조합니다.) 토러스가 두 원의 곱 공간임을 상기하여, n-차원 토러스는 n 원의 곱입니다. 즉:
\(\quad \mathbb{T}^n = \underbrace{\mathbb{S}^1 \times \cdots \times \mathbb{S}^1}_n.\)
표준 1-토러스는 단지 원: \(\mathbb{T}^{1}=\mathbb{S}^{1} \)입니다. 위에서 논의된 토러스는 표준 2-토러스, \(\mathbb{T}^2\)입니다. 그리고 2-토러스와 유사하게, n-토러스, \(\mathbb{T}^{n}\)은 임의의 좌표에서 적분 이동 아래에서 \(\mathbb{R}^{n}\)의 몫으로 설명될 수 있습니다. 즉, n-토러스는 정수 격자(lattice) \(\mathbb{Z}^{n}\)의 동작(action)을 모듈로 \(\mathbb{R}^{n}\)입니다 (동작은 벡터 덧셈으로 취합니다). 동등하게, n-토러스는 반대 면을 함께 접착함으로써 n-차원 초입방체(hypercube)에서 얻습니다.
이런 의미에서 n-토러스는 n-차원 컴팩트(compact) 매니폴드(manifold)의 예제입니다. 그것은 역시 컴팩트 아벨(abelian) 리 그룹(Lie group)의 예제입니다. 이것은 단위 원(unit circle)이 컴팩트 아벨 리 그룹 (곱셈과 함께 단위 복소수로 식별될 때)이라는 사실에서 따릅니다. 그런-다음 토러스의 그룹 곱셈은 좌표-별 곱셈에 의해 정의됩니다.
토러스적 그룹은 컴팩트 리 그룹(compact Lie groups)의 이론에서 중요한 역할을 합니다. 이것은 부분적으로 어떤 컴팩트 리 그룹 G에서 항상 최대 토러스(maximal torus)를 찾을 수 있다는 사실에 기인합니다; 즉, 가능한 가장 큰 차원의 토러스인 닫힌 부분그룹입니다. 그러한 최대 토러스 T는 연결된 G의 이론에서 제어 역할을 합니다. 토러스적 그룹은 (토러스와 같이) 컴팩트 연결된 아벨 그룹인 프로토러스(protori)의 예제이며, 이는 매니폴드일 필요는 없습니다.
T의 자기동형은 격자 \(\mathbb{Z}^{n}\)의 자기동형으로부터 쉽게 구성되며, 이는 정수 역을 갖는 크기 n의 역-가능 정수 행렬(integral matrices)로 분류됩니다; 이것들은 행렬식 ±1을 갖는 정수 행렬일 뿐입니다. 보통의 방법에서 그것들을 \(\mathbb{R}^{n}\)에 동작하게 하면, 몫에 대한 전형적인 토럴 자기동형(toral automorphism)을 가집니다.
n-토러스의 기본 그룹(fundamental group)은 랭크 n의 자유 아벨 그룹(free abelian group)입니다. n-토러스의 k-번째 호몰로지 그룹(homology group)은 랭크 n 선택 k의 자유 아벨 그룹입니다. 따라서 n-토러스의 오일러 특성(Euler characteristic)은 모든 n에 대해 0입니다. 코호몰로지 링(cohomology ring) \(H^{*}(\mathbb{T}^n , \mathbf{Z})\)은 그것의 생성기가 n 비-자명한 주기의 이중인 Z-모듈 \(\mathbb{Z}^{n}\)에 걸쳐 외부 대수(exterior algebra)로 식별될 수 있습니다.
Configuration space
n-토러스는 원의 n-겹 곱이기 때문에, n-토러스는 n 순서화된, 원 위의 반드시 구별될 필요는 없는 점의 구성 공간(configuration space)입니다. 기호적으로, \(\mathbb{T}^{n}= (\mathbb{S}^{1})^{n}\). 비-순서화된, 반드시 구별될 필요는 없는 점의 구성 공간은 오비폴드(orbifold) \(\mathbb{T}^{n} / \mathbb{S}_{n}\)이며, 이는 (좌표를 순열함으로써) n 문자에서 대칭 그룹(symmetric group)에 의한 토러스의 몫입니다.
n = 2에 대해, 몫은 두 좌표가 일치하는 오비폴드 점에 해당하는 가장자리, 뫼비우스 띠(Möbius strip)입니다. n = 3에 대해, 이 몫은 비틀림(twist)을 갖는 등변 삼각형(equilateral triangle) 교차-단면을 갖는 고체 토러스로 설명될 수 있습니다; 동등하게, 꼭대기 면과 바닥 면이 1/3 뒤틀림 (120°)으로 연결된 삼각기둥(triangular prism)으로 설명될 수 있습니다: 3-차원 내부는 모든 3개의 좌표가 구별되는 3-토러스 위의 점에 해당하고, 2-차원 면은 2개의 좌표가 같고 세 번째가 다른 점에 해당하고, 반면에 1-차원 가장자리는 모든 3개의 좌표가 동일한 점에 해당합니다.
이들 오비폴드는 Dmitri Tymoczko와 공동 연구자(Felipe Posada, Michael Kolinas, 등)의 연구에서 중요한 음악 이론에 응용을 발견했으며, 음악 3화음(musical triads)을 모델링하는 데 사용되었습니다.
Flat torus
평평한 토러스는 몫(quotient) \(\mathbb{R}^{2}\)/L으로 그것의 표현으로부터 상속된 메트릭을 갖는 토러스이며, 여기서 L은 \(\mathbb{Z}^{2}\)와 동형인 \(\mathbb{R}^{2}\)의 이산 부분그룹입니다. 이것은 몫에 리만 매니폴드(Riemannian manifold)의 구조를 제공합니다. 아마도 이것의 가장 간단한 예제는 L = \(\mathbb{Z}^{2}\): \(\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}\)일 때이며, 이는 식별 (x, y) ~ (x + 1, y) ~ (x, y + 1) 아래에서 데카르트 평면(Cartesian plane)으로 설명될 수도 있습니다. 이 특정 평평한 토러스 (및 토러스의 임의의 균등하게 스케일된 버전)는 "정사각형(square)" 평평한 토러스로 알려져 있습니다.
정사각형 평면 토러스의 이 메트릭은 유클리드 4-공간 이상의 차원에 친숙한 2-토러스의 특정 삽입에 의해 실현될 수도 있습니다. 그것의 표면은 모든 곳에서 영 가우스 곡률(Gaussian curvature)을 가집니다. 그것의 표면은 원기둥의 표면이 평평한 것과 같은 의미에서 평평합니다. 3차원에서, 종이를 늘림 없이 평평한 종이를 원기둥으로 구부릴 수 있지만, 이 원기둥은 종이를 늘림 없이 토러스로 구부릴 수 없습니다 (일부 규칙성과 미분 가능성 조건이 포기되지 않은 한, 아래를 참조).
직사각형 평평한 토러스 (정사각형 토러스보다 더 일반적임)의 간단한 4-차원 유클리드 삽입은 다음과 같습니다:
\(\quad (x,y,z,w) = (R\cos u, R\sin u, P\cos v, P\sin v)\)
여기서 R과 P는 종횡비를 결정하는 양의 상수입니다. 그것은 정규 토러스에 대한 미분-동형적(diffeomorphic)이지만 등거리-변환적(isometric)은 아닙니다. 그것은 유클리드 3-공간에 해석적으로 삽입될 수 없습니다 (클래스 \(C^k\)의 매끄러움, 2 ≤ k ≤ ∞). 그것을 3-공간으로 매핑하는 것은 그것을 늘리는 것을 요구하며, 이 경우에서 그것은 정규 토러스처럼 보입니다. 예를 들어 다음 맵에서:
\(\quad (x,y,z) = ((R+P\sin v)\cos u, (R+P\sin v)\sin u, P\cos v).\)
만약 위의 평평한 토러스 매개변수화에서 R과 P는 단위 벡터 (R, P) = (cos(η), sin(η))를 형성하면, u, v, 및 0 < η < π/2 는 단위 3-구를 호프 좌표(Hopf coordinates)로 매개변수화합니다. 특히, 위의 η = π/4인 3-구 \(S^3\)에서 정사각형 평평한 토러스의 특정 매우 특정한 선택에 대해, 토러스는 3-구를 위에서 언급한 평평한 토러스 표면을 가진 두 개의 합동(congruent) 고체 토러스와 토러스 부분집합으로 그것들의 공통 경계(boundary)로 분할합니다. 한 가지 예제는 다음에 의해 정의되는 토러스 T입니다:
\(\quad\displaystyle T = \left\{ (x,y,z,w) \in \mathbb{S}^3 \mid x^2+y^2 = \frac 1 2, \ z^2+w^2 = \frac 1 2 \right\}.\)
이 분할 속성을 가지는 \(S^3\)에서 다른 토러스는 Q⋅T 형식의 정사각형 토러스를 포함하며, 여기서 Q는 4-차원 공간 4-차원 공간 \(\mathbb{R}^{4}\)의 회전, 다른 말로 Q는 리 그룹 SO(4)의 구성원입니다.
3-공간에 평평한 토러스를 \(C^2\) (두 번 연속 미분-가능) 삽입이 존재하지 않는 것으로 알려져 있습니다. (이 증명의 아이디어는 토러스 내부에 평평한 그러한 토러스를 포함하는 큰 구를 취하고, 처음으로 토러스에 닿을 때까지 구의 반지름을 줄이는 것입니다. 그러한 접촉 점은 접선이어야 합니다. 그러나 그것은 토러스의 일부가, 모든 곳에서 영 곡률을 가지지 때문에, 구의 바깥쪽에 있어야 한다는 것을 의미하며, 이는 모순입니다.) 다른 한편으로, 1950년대에 입증된 내쉬-카위퍼르 정리(Nash-Kuiper theorem)에 따르면, 등거리-변환 \(C^1\) 삽입이 존재합니다. 이것은 단지 존재 증명일 뿐이고 그러한 삽입에 대해 명시적인 방정식을 제공하지 않습니다.
2012년 4월, 평평한 토러스를 3-차원 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^3\)으로의 명시적 \(C^1\) (연속적으로 미분-가능) 삽입이 발견되었습니다. 그것은 메트릭 공간으로, 그것이 평평한 정사각형 토러스와 등거리-변환적이라는 의미에서 평평한 토러스입니다. 그것은 구조에서 프랙탈(fractal)과 유사한데 왜냐하면 그것은 보통의 토러스를 반복적으로 주름지게 만듦으로써 구성되기 때문입니다. 프랙탈과 마찬가지로, 그것은 정의된 가우스 곡률을 가지지 않습니다. 어쨌든, 프랙탈과 달리, 그것은 정의된 표면 법선을 가지며, 소위 "매끄러운 프랙탈"을 산출합니다. 이 주름지게 만든 토러스의 매끄러움을 얻기 위한 열쇠는 연속적인 주름의 진폭이 그것들의 "파장"보다 빠르게 감소하도록 하는 것입니다. (이들 무한 재귀 주름은 삼 차원으로 삽입하는 데에만 사용됩니다; 그것들은 평평한 토러스의 고유 특색이 아닙니다.) 임의의 그러한 삽입이 명시적 방정식으로 정의되거나 컴퓨터 그래픽으로 묘사된 것은 이번이 처음입니다.
Genus g surface
표면(surfaces)의 이론에서, 또 다른 대상, "지너스(genus)" g 표면이 있습니다. n개의 원의 곱 대신에, 지너스 g 표면은 g 2-토러스의 연결된 합(connected sum)입니다. 두 표면의 연결된 합을 형성하기 위해, 디스크의 각 내부에서 제거하고 경계 원을 따라 표면을 함께 "접착"합니다. 두 개보다 많은 표면의 연결된 합을 형성하기 위해, 그것들이 모두 연결될 때까지 한 번에 그것들 중 두 개를 더합니다. 이런 의미에서, 지너스 g 곡면은 나란히 함께 붙어 있는 g 도넛의 곡면 또는 g 핸들이 부착된 2-구와 닮았습니다.
예제로서, 지너스 영 표면 (경계 없음)은 2-구이고 지너스 일 표면 (경계 없음)은 보통의 토러스입니다. 더 높은 지너스의 표면은 때때로 n-구멍-뚫린 토러스 (또는 드물게 n-겹 토러스)라고 불립니다. 이중 토러스(double torus)와 삼중 토러스(triple torus)라는 용어도 때때로 사용됩니다.
곡면에 대한 분류 정리(classification theorem)는 모든 각 컴팩트(compact) 연결된(connected) 표면이 토폴로지적으로 구 또는 몇 개의 토러스, 디스크, 및 실수 투영 평면(projective planes)의 연결 합과 동등하다고 말합니다.
Toroidal polyhedra
토러스의 토폴로지적 유형을 갖는 다면체(Polyhedra)는 토러스적 다면체라고 불리고, 오일러 특성(Euler characteristic) V − E + F = 0을 가집니다. 구멍의 개수에 관계없이, 공식은 V − E + F = 2 − 2N으로 일반화되며, 여기서 N은 구명의 개수입니다.
"토러스적 다면체"라는 용어는 너 높은-지너스 다면체와 토러스적 다면체의 몰입(immersions)에도 사용됩니다.
Automorphisms
토러스의 위상동형 그룹(homeomorphism group, 또는 미분동형의 부분그룹)은 기하학적 토폴로지(geometric topology)에서 연구됩니다. 그것의 매핑 클래스 그룹(mapping class group, 위상동형 그룹의 연결된 구성 요소)은 역-가능 정수 행렬의 그룹 \(\operatorname{GL}(n,\mathbb{Z})\) 위로의 전사적이며, 이는 표준 격자 \(\mathbb{Z}^{n}\) (이것은 정수 계수에 해당)을 보존하고 따라서 몫으로 내려가는 보편적 덮는 공간 \(\mathbb{R}^{n}\) 위에 선형 맵으로 실현될 수 있습니다.
호모토피(homotopy)와 호몰로지(homology)의 수준에서, 매핑 클래스 그룹은 첫 번째 호몰로지 (또는 동등하게, 첫 번째 코호몰로지, 또는 기본 그룹(fundamental group) 위에 동작으로 식별될 수 있는데, 왜냐하면 이것들은 모두 자연적으로 동형적이기 때문입니다; 역시 첫 번째 코호몰로지 그룹(cohomology group)은 코호몰로지(cohomology) 대수를 생성합니다:
\(\quad \operatorname{MCG}_{\operatorname{Ho}}(\mathbb{T}^n) = \operatorname{Aut}(\pi_1(X)) = \operatorname{Aut}(\mathbb{Z}^n) = \operatorname{GL}(n,\mathbb{Z}).\)
토러스는 에일렌베르크-매클레인 공간(Eilenberg–MacLane space) K(G, 1)이기 때문에, 호모토피 동등성은, 호모토피까지, 기본 그룹의 자기동형으로 식별될 수 있습니다); 토러스의 모든 호모토피 동등성은 위상동형에 의해 실현될 수 있습니다 – 모든 각 호모토피 동등성은 위상동형에 호모토피적입니다.
따라서 매핑 클래스 그룹의 짧은 정확한 수열(short exact sequence)은 분할됩니다 (\(\mathbb{R}^{n}\)의 몫으로 토러스의 식별은 위와 같이 선형 맵을 통해 분할을 제공합니다):
\(\quad 1 \to \operatorname{Homeo}_0(\mathbb{T}^n) \to \operatorname{Homeo}(\mathbb{T}^n) \to \operatorname{MCG}_{\operatorname{TOP}}(\mathbb{T}^n) \to 1.\)
더 높은 지너스 표면의 매핑 클래스 그룹은 훨씬 더 복잡하고, 활발한 연구 영역입니다.
Coloring a torus
토러스의 색칠 숫자(chromatic number)는 7이며, 토러스에 삽입될 수 있는 모든 각 그래프의 많아야 7개의 색칠 숫자를 가짐을 의미합니다. (완전 그래프(complete graph) \(\mathsf{K_7}\)이 토러스에 삽입될 수 있고, \(\chi (\mathsf{K_7}) = 7\)이기 때문에, 위쪽 경계는 촘촘합니다.) 동등하게, 영역으로 분할된 토러스에서, 이웃 영역이 같은 색이 되지 않도록 7개 이하의 색깔을 사용하여 영역을 색칠하는 것이 항상 가능합니다. (평면에 대한 4색 정리와 대조됩니다.)
de Bruijn torus
조합론적(combinatorial) 수학에서, 더 블라인 토러스(de Bruijn torus)는 모든 각 m-x-n 행렬을 정확히 한 번 포함하는 알파벳 (종종 0과 1만)의 기호의 배열입니다. 그것은 행렬을 찾기 위해 가장자리가 랩어라운드(wraparound)를 고려되기 때문에 토러스입니다. 그것의 이름은 n이 1 (1차원)인 특수한 경우로 고려될 수 있는 더 블라인 수열(De Bruijn sequence)에서 유래합니다.
Cutting a torus
고체 회전 토러스는 n (> 0) 평면으로 최대 다음과 같은 부분으로 절단될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \begin{pmatrix}n+2 \\ n-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}n \\ n-1\end{pmatrix} = \tfrac{1}{6}(n^3 + 3n^2 + 8n)\)
0 ≤ n ≤ 10 (n = 0의 경우를 포함, 위 공식에 포함되지 않음)에 대한 처음 11개의 부분 번호는 다음과 같습니다:
See also
Notes
- Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal, ISBN 978-970-10-6596-9, Author: Kozak Ana Maria, Pompeya Pastorelli Sonia, Verdanega Pedro Emilio, Editorial: McGraw-Hill, Edition 2007, 744 pages, language: Spanish
- Allen Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0.
- V. V. Nikulin, I. R. Shafarevich. Geometries and Groups. Springer, 1987. ISBN 3-540-15281-4, ISBN 978-3-540-15281-1.
- "Tore (notion géométrique)" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
External links
- Creation of a torus at cut-the-knot
- "4D torus" Fly-through cross-sections of a four-dimensional torus
- "Relational Perspective Map" Visualizing high dimensional data with flat torus
- Polydoes, doughnut-shaped polygons
- Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Séquin, Carlo H (27 January 2014). "Topology of a Twisted Torus – Numberphile" (video). Brady Haran.
- Anders Sandberg (4 February 2014). "Torus Earth". Retrieved 24 July 2019.
