집합 이론(set theory)에서, 순서-숫자(ordinal number) α의 다음수(successor)는 α보다 더 큰 가장 작은 순서-숫자입니다. 다음수인 순서-숫자는 다음 순서-숫자(successor ordinal)라고 불립니다.
Properties
0 이외의 모든 각 순서-숫자는 다음 순서-숫자 또는 극한 순서-숫자(limit ordinal)입니다.
In Von Neumann's model
폰 노이만의 순서-숫자(von Neumann's ordinal numbers) (집합 이론에서 사용되는 순서-숫자의 표준 모델)를 사용하여, 순서-숫자 α의 다음수 S(α)는 다음 공식에 의해 주어집니다:
\(\quad S(\alpha) = \alpha \cup \{\alpha\}.\)
순서-숫자의 순서화는 α < β에 의해 주어진 것과 α ∈ β에 주어진 것은 필요충분 조건이므로, α와 S(α) 사이에 순서-숫자가 없다는 것은 즉각적이고, α < S(α)라는 것도 역시 분명합니다.
Ordinal addition
다음수 연산은 다음과 같이 초월유한 재귀(transfinite recursion)를 통해 순서-숫자 덧셈(ordinal addition)을 엄격하게 정의하기 위해 사용될 수 있습니다:
\(\quad \alpha + 0 = \alpha\!\)
\(\quad \alpha + S(\beta) = S(\alpha + \beta)\!\)
그리고 극한 순서-숫자 λ에 대해
\(\quad\displaystyle \alpha + \lambda = \bigcup_{\beta < \lambda} (\alpha + \beta)\)
특히, S(α) = α + 1입니다. 곱셈과 지수화는 비슷하게 정의됩니다.
Topology
다음수 점과 영은 순서 토폴로지(order topology)에 관한 순서-숫자의 클래스의 고립된 점(isolated point)입니다.
References
- Cameron, Peter J. (1999), Sets, Logic and Categories, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, p. 46, ISBN 9781852330569.
- Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, Exercise 3C, p. 100, ISBN 9780387940946.
